東北大学 2012年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1)

$n=1$ では定義そのものである。ある自然数 $n$ で ${\alpha }^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$ が成り立つと仮定する。このとき ${\alpha }^{n+1}=(\cos n\theta +i\sin n\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )$ である。加法定理を用いると ${\alpha }^{n+1}=\cos (n+1)\theta +i\sin (n+1)\theta$ となる。したがって帰納法により、すべての自然数 $n$ で成り立つ。$\beta$ についても同様に、または $i$ を $-i$ に置き換えて同じ議論により ${\beta }^n=\cos n\theta -i\sin n\theta$ が成り立つ。

(2)

$\theta =2\pi /7$ であるから、(1)より ${\alpha }^7=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$ である。また $\alpha \beta =(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )=1$ なので $\beta ={\alpha }^{-1}$ である。 $k+l$ が7の倍数であるとする。このとき $k+l=7r$ と書ける。${\alpha }^7=1$ より ${\alpha }^{k+l}=1$ であるから ${\alpha }^k={\alpha }^{-l}$ である。さらに ${\alpha }^{-1}=\beta$ なので $\boxed{{\alpha }^k={\beta }^l}$ である。

(3)

$\beta ={\alpha }^{-1}$、${\alpha }^7=1$ より $\beta ={\alpha }^6,{\beta }^2={\alpha }^5,{\beta }^4={\alpha }^3$ である。したがって $B={\alpha }^6+{\alpha }^5+{\alpha }^3$ である。 $\alpha \ne 1$ で ${\alpha }^7=1$ だから $1+\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^6=0$ である。よって $A+B=\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4+{\alpha }^5+{\alpha }^6=-1$ であり、$\boxed{A+B=-1}$ である。

次に $AB$ を計算する。積の各項の指数を7で割った余りで見ると、$\{1,2,4\}+\{6,5,3\}$ から、指数0になる項が3個あり、指数1から6までの項がそれぞれ1個ずつ現れる。したがって $AB=3+(\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^6)=3-1=2$ である。よって $\boxed{AB=2}$ である。

(4)

$B$ は $A$ の共役複素数である。したがって $A=u+iv$ とおくと $A+B=2u,AB=u^2+v^2$ である。(3)より $2u=-1$ なので $u=-\frac{1}{2}$ である。また $u^2+v^2=2$ だから $\frac{1}{4}+v^2=2$ であり、$v^2=\frac{7}{4}$ である。

ここで $v$ は $v=\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 4\theta$ である。$\theta =2\pi /7$ では $\sin \theta >0$、$\sin 2\theta >0$、$\sin 4\theta =-\sin (\pi /7)$ であり、$\sin 2\theta >\sin (\pi /7)$ だから和は正である。よって $\boxed{\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 4\theta =\frac{\sqrt{7}}{2}}$ である。