問題
空間内に4点，，，がある。点を含み，直線に垂直な平面をとする。以下の問いに答えよ。
(1) に対し，線分をに内分する点をとする。点から平面に下ろした垂線との交点をとするとき，点の座標を求めよ。
(2) を平面上を動く点とするとき，の最小値を求めよ。
出典：東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1)は平面 の法線が であることから、平面方程式 を作る。内分点 を求め、法線方向に平面まで下ろして を出す。(2)は重み付きの中点公式を使い、 定数の形に直す。あとは点 から平面 までの距離を求めればよい。
解答
(1)
であるから、点 を通り に垂直な平面 は である。
点 は線分 を に内分するので である。したがって である。 から平面 へ下ろす垂線は法線方向 に平行であるから とおける。 が 上にある条件は である。よって から である。したがって
である。
(2)
重み付きの中心 を考える。計算すると である。任意の点 について が成り立つ。ここで であり、、 だから である。
したがって、 を最小にするには、平面 上の について を最小にすればよい。これは から平面 へ下ろした垂線の足で起こる。
点 について であるから、平面 までの距離の2乗は である。よって求める最小値は である。