問題
とする。数直線上を次の規則に従って動く点を考える。
(i) 時刻0には原点にある。
(ii) 時刻 におけるの座標がであるとき，時刻には，確率で座標がである点に移動し，確率で座標がである点に移動する。
時刻におけるの座標をで表し，に対し，数を点の時刻までの訪問点とよぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1) 4と6がともにの時刻6までの訪問点となる確率を求めよ。
(2) を自然数とする。3からまでの3の倍数のいずれもの時刻までの訪問点とならない確率を求めよ。
方針
点 は右へ1または2だけ進むので、訪問点は単調に増える。(1)は4を訪問するまでの増分列を数え、その後4から6を訪問するための増分が または であることを掛ける。(2)は3の倍数を訪問しないためには、各3の倍数を直前の点から2歩で飛び越す必要があると見る。最初に1へ進む型と2へ進む型に分け、最後の3mを飛び越した後の残り時間は任意に動いてよいことも含めて確率をまとめる。
解答
(1)
4を訪問するには、1歩または2歩の増分の和が初めて4になればよい。4を の和で表す列は である。したがって4を訪問する確率は である。
4を訪問した後、6を訪問するには、4から一度に2進むか、1ずつ2回進めばよい。したがってその条件付き確率は である。4を訪問する時刻は高々4であり、その後2回以内に6へ到達するので、時刻6までという条件にも合う。
よって求める確率は である。
(2)
3の倍数を訪問しないためには、各3の倍数を飛び越さなければならない。3の倍数の直前、すなわち にいるときは、次に2進めば に移り、 を訪問しないで済む。一方、 から2進むと に着いてしまうので不適である。
最初に1進む型を考える。位置1から始まると、3を避けるためには次に1進んで2へ行き、その次に2進んで4へ行く必要がある。同じことを繰り返すと、 をすべて飛び越すまでに、増分1が 回、増分2が 回必要である。その確率は である。最後の を飛び越した後、時刻 までに残った操作はどちらを選んでも、もはや には戻らない。
次に最初に2進む型を考える。位置2から始まると、3を避けるために次は2進んで4へ行く。その後は同様に進み、 をすべて飛び越すまでに、増分1が 回、増分2が 回必要である。その確率は である。
したがって求める確率は であり、まとめて である。