東北大学 2012年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

領域が存在するには、放物線の上端 $y=-x^2+2x$ が水平線 $y=a$ 以上でなければならない。すなわち $-x^2+2x\geqq a$ である。これを解くと $(x-1{)}^2\leqq 1-a$ なので、$x$ は $1-\sqrt{1-a}\leqq x\leqq 1+\sqrt{1-a}$ を満たす。

さらに条件 $x\leqq a$ がある。$0<a<1$ において $1-\sqrt{1-a}\leqq a$ は $1-a\leqq \sqrt{1-a}$ であり、これは $0<1-a<1$ から成り立つ。したがって面積は $S(a)={\int }_{1-\sqrt{1-a}}^a\{-x^2+2x-a\}dx$ である。

微分する。下端では被積分関数が0であり、上端 $x=a$ での被積分関数は $-a^2+2a-a=a-a^2$ である。また被積分関数の $a$ による微分は $-1$ なので $S^{\prime }(a)=a-a^2-{\int }_{1-\sqrt{1-a}}^{a}1dx$ である。よって $S^{\prime }(a)=a-a^2-\{a-(1-\sqrt{1-a})\}=1-\sqrt{1-a}-a^2$ である。 $u=\sqrt{1-a}$ とおくと、$0<u<1$、$a=1-u^2$ である。$S^{\prime }(a)=0$ は $1-u-(1-u^2{)}^2=0$ すなわち $1-u-(1-2u^2+u^4)=2u^2-u-u^4=0$ である。$u>0$ より、両辺を $u$ で割って符号を変えると $u^3-2u+1=0$ を得る。因数分解して $(u-1)(u^2+u-1)=0$ である。$0<u<1$ だから $u=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。

このとき $a=1-u^2=1-{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。$a\to 0+$、$a\to 1-$ では領域の面積は0に近づき、内部の停留点は1つだけなので、ここで最大となる。したがって $\boxed{a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ である。