東北大学 2010年度
理系数学 前期 第6問

解答

正六角形 $X$ の頂点を

とする。また $P=(1,0),Q=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ とおく。

(1) $AP=P$ とする。点 $Q-P=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ も $X$ の頂点であるから，仮定より $AQ$ と $A(Q-P)=AQ-AP=AQ-P$ はいずれも $X$ の辺上にある。

ここで，正六角形の6本の辺を座標で調べると，点 $Y$ と点 $Y-P$ がともに $X$ の辺上にあるような点 $Y$ は

に限られる。実際，$X$ と $P+X$ の共通部分で，両方の境界上にある点はこの2点である。

したがって $AQ=Q$ または $AQ=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ である。$P,Q$ は同一直線上にないので，$P,Q$ の像が決まれば行列 $A$ は一意に決まる。

$AQ=Q$ のとき，$P,Q$ がともに固定されるので

である。

$AQ=(1/2,-\sqrt{3}/2)$ のとき，$P$ は固定され，$Q$ は $x$ 軸に関して対称な頂点に移る。よって

である。

以上の2つはいずれも正六角形の頂点を頂点に移す。したがって，$P$ が $P$ 自身に移るとき，$X$ の各頂点は $X$ のいずれかの頂点に移り，行列は

である。

(2) $P$ の像が $X$ のある頂点であるとする。原点を中心とする角 $k\pi /3$ の回転を表す行列を

とする。$AP$ はある頂点なので，ある $k$ によって $AP=R_{k}P$ と書ける。

このとき $R_k^{-1}A$ を考える。回転 $R_k^{-1}$ は正六角形 $X$ をそれ自身に移すので，$A$ による像が $X$ の辺上にあるという条件は保たれる。また $(R_k^{-1}A)P=P$ である。したがって (1) より $R_k^{-1}A=I$ または

である。

よって

である。これらは回転または回転と $x$ 軸対称の合成であり，いずれも正六角形の頂点を正六角形の頂点に移す。したがって，この場合も $X$ の各頂点は $X$ のいずれかの頂点に移る。