問題
1，2，3，4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて，次の手順で5桁の整数をつくる．まず1枚を取り出して現れた数字を1の位とする．取り出した1枚を元に戻し，4枚のカードをよく混ぜて，再び1枚を取り出して現れた数字を10の位とする．このような操作を5回繰り返して，5桁の整数をつくる．得られた整数をとするとき，以下の問いに答えよ．
(1) に数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ．
(2) に数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ．
(3) にちょうど2回現れる数字が1種類以上ある確率を求めよ．
方針
各位は独立に の4通りをとるので，全部で 通りとして数える。指定した数字の出現回数は位置の選び方で処理する。(3) は「ちょうど2回現れる数字が1種類以上ある」の余事象を取り，出現回数の型が ，， に限られることを使う。
解答
5桁の各位は，それぞれ独立に の4通りをとる。したがって，起こり得る5桁の並びは全部で 通りであり，いずれも同様に確からしい。
(1) 数字1がちょうど2回現れるには，まず数字1が入る2つの位を選ぶ。これは 通りである。残り3つの位には，数字1以外の のいずれかが入るので，各位について3通りである。
したがって求める確率は
である。
(2) 数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる場合を数える。数字1の位置は5通り，数字2の位置は残り4通りである。残り3つの位には，数字1,2は使えないので，数字3または4の2通りずつが入る。
したがって求める確率は である。
(3) 余事象を数える。すなわち，どの数字も「ちょうど2回」は現れない場合を数える。5個の位に4種類の数字が入るので，出現回数の型を考えると，2を含まない型は に限られる。
型 の場合は，5回現れる数字を選ぶだけなので 通りである。
型 の場合は，4回現れる数字を4通りで選び，1回現れる数字を残り3通りで選ぶ。さらに，1回現れる数字の位置を5通りで選ぶので 通りである。
型 の場合は，3回現れる数字を4通りで選び，1回ずつ現れる2つの数字を残り3つから選ぶので 通りである。位置については，3回現れる数字の位置を 通りで選び，残り2つの位置に2種類の数字を並べるので 通りである。したがって
通りである。
よって余事象の場合の数は である。したがって求める確率は
である。