東北大学 2010年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1) 接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=x^3-a^{2}x+a^3$ の導関数は $y^{\prime }=3x^2-a^2$ であるから，接点 $T(t,t^3-a^{2}t+a^3)$ における接線は $y-(t^3-a^{2}t+a^3)=(3t^2-a^2)(x-t)$ である。この接線が $P(b,0)$ を通る条件は $0-(t^3-a^{2}t+a^3)=(3t^2-a^2)(b-t)$ である。整理すると $a^3-a^{2}b+3b{t}^2-2t^3=0$ となる。

ここで $u=\frac{t}{a},k=\frac{b}{a}$ とおく。$a>0$ なので，両辺を $a^3$ で割ると $-2u^3+3k{u}^2-k+1=0$ である。これを $g(u)=-2u^3+3k{u}^2-k+1$ とおく。導関数は $g^{\prime }(u)=-6u^2+6ku=6u(k-u)$ である。したがって極値をとる点は $u=0,u=k$ である。$k>0$ であるから，$u=0$ は極小，$u=k$ は極大である。

それぞれの値は $g(0)=1-k,g(k)=k^3-k+1$ である。$k^3-k+1$ は $k>0$ で常に正である。実際，$k^3-k+1$ の最小値は $k=1/\sqrt{3}$ で現れ，$1-\frac{2}{3\sqrt{3}}>0$ である。よって異なる3つの実根をもつためには，極小値が負であればよい。すなわち $1-k<0$ より $k>1$ である。

$k=b/a$ だから，求める領域は $\boxed{a>0,b>a}$ である。図示すれば，$ab$ 平面の第1象限において直線 $b=a$ の上側の部分である。

(2) 接線がちょうど2本となるのは，(1) の境界で極小値が0になる場合である。したがって $k=1$ すなわち $b=a$ である。このとき $g(u)=-2u^3+3u^2=-u^2(2u-3)$ であるから，接点の $x$ 座標は $t=0,t=\frac{3a}{2}$ である。$t=0$ は重解であるが，接線としては1本で数える。

2つの接点を

とする。$B$ の $y$ 座標は

である。したがって $A=(0,a^3),B=\left(\frac{3a}{2},\frac{23a^3}{8}\right)$ である。

また $P=(a,0)$ なので

である。角 $\angle APB$ が $90^{\circ }$ より小さいことは $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}>0$ と同値である。内積を計算すると

$a>0$ だから，これは $23a^4-4>0$ と同値である。よって $a^4>\frac{4}{23},a>{\left(\frac{4}{23}\right)}^{1/4}$ である。

以上より条件は $\boxed{b=a,a>{\left(\frac{4}{23}\right)}^{1/4}}$ である。