東北大学 2010年度
理系数学 前期 第1問

解答

点 $(y,f(y))$ と $(a,f(a))$ を結ぶ直線において，$x$ に対応する値は $\frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}$ である。したがって，求める条件は $f(x)-\frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}>0$ が，すべての $y<x<a$ に対して成り立つことである。

$f(t)=t^3+3t^2-9t$ を代入して整理する。分母 $a-y$ は $y<a$ より正である。分子を計算すると $(a-y)f(x)-(x-y)f(a)-(a-x)f(y)$ であり，これは因数分解して $(a-y)(x-a)(x-y)(a+x+y+3)$ となる。よって $f(x)-\frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}=(x-a)(x-y)(a+x+y+3)$ である。

ここで $y<x<a$ だから $x-a<0,x-y>0$ である。したがって $(x-a)(x-y)<0$ である。差が常に正となるためには $a+x+y+3<0$ が常に成り立つことが必要十分である。

まず必要性を調べる。$x,y$ をともに $a$ に近づけると，$a+x+y+3$ は $3a+3$ にいくらでも近づく。もし $a>-1$ なら $3a+3>0$ であるから，$x,y$ を十分 $a$ に近く取ることで $a+x+y+3>0$ となり，不等式は成り立たない。よって必要条件は $a\leqq -1$ である。

逆に $a\leqq -1$ とする。$y<x<a$ より $x<a$，$y<a$ なので $a+x+y+3<a+a+a+3=3a+3\leqq 0.$ 実際には $x<a$，$y<a$ であるから $a+x+y+3<0$ である。したがって差は常に正となり，条件を満たす。

以上より求める範囲は $\boxed{a\leqq -1}$ である。