東北大学 2010年度
理系数学 前期 第5問

解答

領域の条件は $0\leqq y\leqq \sin x,0\leqq x\leqq t-y$ である。第2の不等式は $y\leqq t-x$ と同値である。したがって，固定した $x$ に対する上端は $\min (\sin x,t-x)$ である。

$0<t<3<\pi$ であるから，$0\leqq x\leqq t$ において $x+\sin x$ は単調に増加する。よって $u+\sin u=t$ を満たす $u$ がただ1つ存在する。$0\leqq x\leqq u$ では $x+\sin x\leqq u+\sin u=t$ より $\sin x\leqq t-x$ である。一方，$u\leqq x\leqq t$ では $t-x\leqq \sin x$ である。

したがって，$x$ 軸のまわりに回転してできる体積は $V(t)=\pi {\int }_0^u{\sin }^{2}xdx+\pi {\int }_u^t(t-x{)}^{2}dx$ である。

これを $t$ で微分する。$u$ は $t$ の関数であることに注意すると

ここで $u+\sin u=t$ より $t-u=\sin u$ なので，最初の2項は打ち消し合う。したがって $\frac{dV}{dt}=\pi {\int }_u^{t}2(t-x)dx=\pi (t-u{)}^2=\pi {\sin }^{2}u$ である。

条件 $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi }{4}$ は ${\sin }^{2}u=\frac{1}{4}$ を意味する。$0<u<t<3<\pi$ であり，また $t=u+\sin u<3$ を満たす必要がある。$0<u<\pi$ で $\sin u=1/2$ となるのは $u=\frac{\pi }{6},u=\frac{5\pi }{6}$ であるが，$u=5\pi /6$ では $t=u+\sin u=\frac{5\pi }{6}+\frac{1}{2}>3$ となり不適である。よって $u=\frac{\pi }{6}$ であり，$\boxed{t=\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}}$ である。

このとき

である。まず

である。また，後半の積分は $s=\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}-x$ とおくと

である。

したがって $\boxed{V=\pi \left(\frac{\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{1}{24}\right)}$ である。