東北大学 2010年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$x y$ 平面において，連立不等式

(x - 1)^{2} + y^{2} ≦ 1

0 ≦ x ≦ 1

y ≧ 0

の表す領域を $A$ とする．これを座標空間内で $z$ 軸の方向に1だけ平行移動するときに $A$ が通過してできる立体を $B$ とする． $B$ を $x$ 軸のまわりに， $y$ 軸から $z$ 軸の方向に $90^{\circ}$ 回転させたときに通過してできる立体を $C$ とする． $C$ の体積を求めよ．

出典：東北大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

固定した $x$ で切った断面を考える。領域 $A$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で $0 ≦ y ≦ 2 x - x^{2}$ を満たすので， $B$ の $y z$ 断面は高さ1，幅 $r = 2 x - x^{2}$ の長方形になる。この長方形を原点まわりに90度回転したときの掃過面積を，極角ごとの最大半径で求め，最後に $x$ で積分する。

解答

領域 $A$ は $(x - 1)^{2} + y^{2} ≦ 1, 0 ≦ x ≦ 1, y ≧ 0$ で表される。固定した $x$ に対して， $y$ の範囲は $0 ≦ y ≦ 1 - (x - 1)^{2} = 2 x - x^{2}$ である。

これを $z$ 軸方向に1だけ平行移動して通過する立体 $B$ を考えると，固定した $x$ における $y z$ 平面での断面は $0 ≦ y ≦ r, 0 ≦ z ≦ 1$ という長方形である。ただし $r = 2 x - x^{2}$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ r ≦ 1$ である。

この長方形を， $y$ 軸から $z$ 軸の方向へ90度回転させたときに通過する部分の面積を求める。 $y z$ 平面で原点を中心とする極角を考える。もとの長方形内で，角 $ϕ$ 方向に進める最大半径は

R (ϕ) = min (\frac{r}{cos ϕ}, \frac{1}{sin ϕ}) (0 ≦ ϕ ≦ \frac{π}{2})

である。2つが等しくなる角を $ϕ_{0}$ とすると $tan ϕ_{0} = \frac{1}{r}$ であり，そのときの最大半径は $1 + r^{2}$ である。

90度回転で通過する領域を極角ごとに見ると，最大半径は $0 ≦ θ ≦ ϕ_{0}$ では $r / cos θ$ ， $ϕ_{0} ≦ θ ≦ ϕ_{0} + \frac{π}{2}$ では $1 + r^{2}$ ， $ϕ_{0} + \frac{π}{2} ≦ θ ≦ π$ では $1/ (- cos θ)$ である。したがって掃過面積 $S (r)$ は，扇形の面積公式を用いて

S (r) = \frac{1}{2} \int_{0}^{ϕ_{0}} \frac{r ^{2}}{cos ^{2} θ} d θ + \frac{1}{2} \int_{ϕ_{0}}^{ϕ_{0} + π /2} (1 + r^{2}) d θ + \frac{1}{2} \int_{ϕ_{0} + π /2}^{π} \frac{1}{cos ^{2} θ} d θ .

ここで $tan ϕ_{0} = \frac{1}{r}, tan (ϕ_{0} + \frac{π}{2}) = - r$ であるから

S (r) = \frac{1}{2} r^{2} tan ϕ_{0} + \frac{π}{4} (1 + r^{2}) + \frac{1}{2} {tan π - an (ϕ_{0} + \frac{π}{2})} .

よって $S (r) = \frac{1}{2} r + \frac{π}{4} (1 + r^{2}) + \frac{1}{2} r = r + \frac{π}{4} (1 + r^{2}) .$ したがって求める体積は

\int_{0}^{1} {r + \frac{π}{4} (1 + r^{2})} d x = \int_{0}^{1} {2 x - x^{2} + \frac{π}{4} (1 + 2 x - x^{2})} d x

である。

まず $2 x - x^{2} = 1 - (x - 1)^{2}$ であるから $\int_{0}^{1} 2 x - x^{2} d x$ は半径1の円の第2象限の4分の1の面積に等しく， $\int_{0}^{1} 2 x - x^{2} d x = \frac{π}{4}$ である。また

\int_{0}^{1} (1 + 2 x - x^{2}) d x = [x + x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = 1 + 1 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

である。

よって体積は

\frac{π}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{π}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2 π}{3}

である。

東北大学 2010年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 2010年度
後期・理系数学後期第6問