東北大学 2010年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1) $u=\cos x$ とおくと，$0\leqq x\leqq 2\pi$ に対して $-1\leqq u\leqq 1$ である。方程式は $\cos (\pi u)=\frac{1}{2}$ となる。

$-1\leqq u\leqq 1$ の範囲では，$\pi u$ は $-\pi$ から $\pi$ まで動く。この範囲で $\cos (\pi u)=\frac{1}{2}$ となるのは $\pi u=\pm \frac{\pi }{3}$ のときである。したがって $u=\pm \frac{1}{3}$ である。

$u=1/3$，$u=-1/3$ はどちらも $-1<u<1$ にあるので，それぞれに対して $0\leqq x\leqq 2\pi$ の解は2個ずつある。よって解の個数は $\boxed{4}$ である。

(2) 同じく $u=\cos x$ とおくと，方程式は $\cos (\pi u)=u$ である。そこで $h(u)=\cos (\pi u)-u$ とおき，$-1\leqq u\leqq 1$ で零点の個数を調べる。

まず $h(-1)=\cos (-\pi )+1=0$ である。また

であり，$h\left(-\frac{1}{2}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$ である。したがって $(-5/6,-1/2)$ に少なくとも1つ零点がある。

この区間を含む $[-1,-1/2]$ では $h^{\prime }(u)=-\pi \sin (\pi u)-1,h^{\prime \prime }(u)=-{\pi }^2\cos (\pi u)$ である。$-1\leqq u\leqq -1/2$ では $\cos (\pi u)\leqq 0$ なので $h^{\prime \prime }(u)\geqq 0$ である。よって $h^{\prime }$ は増加関数であり，$h$ はこの区間で一度減少してから増加する形になる。したがって $[-1,-1/2]$ における零点は，端点 $u=-1$ と，その後の1個だけである。

次に $[-1/2,0]$ では $\cos (\pi u)\geqq 0,-u\geqq 0$ であり，両方が同時に0になることはない。したがって $h(u)=\cos (\pi u)-u>0$ であり，零点はない。

最後に $[0,1]$ では $h^{\prime }(u)=-\pi \sin (\pi u)-1<0$ であるから，$h$ は単調減少する。また $h(0)=1>0,h(1)=-2<0$ である。したがって $[0,1]$ には零点が1つだけある。

以上より，$u$ の解は $u=-1,-1<u<-\frac{1}{2}\text{ に1個},0<u<1\text{ に1個}$ の合計3個である。$u=-1$ は $x=\pi$ の1個だけを与え，残り2つの解は $-1<u<1$ にあるので，それぞれ $x$ を2個ずつ与える。

したがって $x$ の解の個数は $1+2+2=\boxed{5}$ である。