東北大学 2010年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

初期値を $x_0=0$ とし，$x_n=\sqrt{x_{n-1}+2}(n=1,2,3,\dots )$ として考える。

(1) まず $x_n<2$ と単調増加を示す。$x_0=0<2$ であり，$x_n<2$ なら $x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}<\sqrt{4}=2$ である。よって帰納法により $x_n<2$ がすべての $n$ で成り立つ。

また $0\leqq x_n<2$ のとき，$x_{n+1}>x_n$ は $\sqrt{x_n+2}>x_n$ と同値である。両辺は非負なので二乗してよく，$x_n+2>x_n^2$ すなわち $(2-x_n)(x_n+1)>0$ である。これは $0\leqq x_n<2$ から成り立つ。したがって $x_n<x_{n+1}<2$ である。

次に下からの評価を示す。$d_n=2-x_n$ とおくと

ここで $x_{n+1}>0$ だから $2+x_{n+1}>2$ であり，$d_{n+1}<\frac{d_n}{2}$ である。また $d_1=2-\sqrt{2}<1$ なので，帰納法により $d_n<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ である。すなわち $2-x_n<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ であり，$2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}<x_n$ である。

以上より $\boxed{2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}<x_n<x_{n+1}<2}$ が成り立つ。

(2) (1) と同じく $d_n=2-x_n$ とおく。上で得た式 $d_{n+1}=\frac{d_n}{2+x_{n+1}}$ を用いる。$x_{n+1}<2$ だから $2+x_{n+1}<4$ であり，$d_{n+1}>\frac{d_n}{4}$ である。また $d_1=2-\sqrt{2}>\frac{1}{4}$ である。したがって帰納法により $d_n>{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ である。すなわち $\boxed{x_n<2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}$ である。

(3) (2) より $\alpha =\frac{1}{4}$ は条件を満たす。

これより大きい $\alpha$ が条件を満たさないことを示す。$x_n$ は増加して2より小さいので，極限を $L$ とすると $L=\sqrt{L+2}$ である。$0\leqq L\leqq 2$ より $L=2$ である。したがって $\frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{1}{2+x_{n+1}}\to \frac{1}{4}$ である。

いま $\alpha >1/4$ とする。$1/4<\rho <\alpha$ となる $\rho$ を1つ取る。十分大きい $n$ では $\frac{d_{n+1}}{d_n}<\rho$ が成り立つ。するとある番号 $N$ 以後で $d_n<d_N{\rho }^{n-N}$ となる。ところが $\rho /\alpha <1$ なので，十分大きい $n$ では $d_N{\rho }^{n-N}<{\alpha }^n$ となる。したがって $d_n<{\alpha }^n$ となる $n$ が存在し，すべての $n$ について $x_n<2-{\alpha }^n$，すなわち $d_n>{\alpha }^n$ を満たすことはできない。

よって最大の定数は $\boxed{\alpha =\frac{1}{4}}$ である。