東北大学 2010年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1) 2次方程式 $x^2+bx+1=0$ の解が $\alpha ,\beta$ であるから，解と係数の関係より $\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =1$ である。 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。方程式の解であることから ${\alpha }^2+b\alpha +1=0,{\beta }^2+b\beta +1=0$ である。両辺にそれぞれ ${\alpha }^n$，${\beta }^n$ を掛けると ${\alpha }^{n+2}+b{\alpha }^{n+1}+{\alpha }^n=0,$ ${\beta }^{n+2}+b{\beta }^{n+1}+{\beta }^n=0$ である。これらを足して $s_{n+2}+b{s}_{n+1}+s_n=0$ すなわち $s_{n+2}=-b{s}_{n+1}-s_n$ を得る。

初期値は $s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2,s_1=\alpha +\beta =-b$ である。$b$ は整数なので $s_0,s_1$ は整数である。さらに漸化式 $s_{n+2}=-b{s}_{n+1}-s_n$ は整数係数であるから，帰納法によりすべての0以上の整数 $n$ について $\boxed{{\alpha }^n+{\beta }^n\text{ は整数}}$ である。

(2) $|\alpha |>|\beta |$ とする。$\alpha \beta =1$ であるから $|\alpha ||\beta |=1$ である。したがって $|\alpha |>1,|\beta |<1$ である。

(1) より $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ は整数である。また $|s_n-{\alpha }^n|=|{\beta }^n|=|\beta {|}^n$ であり，$|\beta |<1$ だから $|\beta {|}^n\to 0$ である。特に十分大きい $n$ では $|\beta {|}^n<\frac{1}{2}$ となるので，整数 $s_n$ は ${\alpha }^n$ に最も近い整数である。

したがって，十分大きい $n$ では $d_n=|s_n-{\alpha }^n|=|\beta {|}^n$ である。よって ${\lim }_{n\to \infty }{d}_n={\lim }_{n\to \infty }|\beta {|}^n=\boxed{0}$ である。