東北大学 2010年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，原点を中心とする角 $θ$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ の回転を行い，さらに直線 $y = x$ に関する対称移動を行う．これが直線 $y = 3 x$ に関する対称移動と一致するとき， $θ$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

回転行列と直線 $y = x$ に関する対称移動の行列を順に掛け，直線 $y = 3 x$ に関する対称移動の行列と比較する。別解として，方向角 $ϕ$ の半直線が回転後の反射でどの方向に移るかを追い，反射軸の角度を比較して $θ$ を求める。

解答

角 $θ$ の回転を表す行列は

R = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

である。また，直線 $y = x$ に関する対称移動を表す行列は

S = (0110)

である。

問題では，まず回転を行い，さらに直線 $y = x$ に関する対称移動を行うので，合成変換は

S R = (0110) (cos θ sin θ - sin θ cos θ) = (sin θ cos θ cos θ - sin θ)

で表される。

一方，直線 $y = 3 x$ は $x$ 軸となす角が $\frac{π}{3}$ である。角 $φ$ の直線に関する対称移動の行列は

(cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ - cos 2 φ)

であるから， $φ = π /3$ として

(cos \frac{2 π}{3} sin \frac{2 π}{3} sin \frac{2 π}{3} - cos \frac{2 π}{3}) = (- \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2})

である。

したがって係数を比較して $sin θ = - \frac{1}{2}, cos θ = \frac{3}{2}$ である。 $0 ≦ θ < 2 π$ より $θ = \frac{11 π}{6}$ である。

別解。方向角が $ϕ$ の半直線を考える。まず角 $θ$ だけ回転すると，方向角は $ϕ + θ$ になる。次に直線 $y = x$ ，すなわち方向角 $π /4$ の直線に関して対称移動すると，方向角は $2 \cdot \frac{π}{4} - (ϕ + θ) = \frac{π}{2} - θ - ϕ$ になる。

一方，直線 $y = 3 x$ は方向角 $π /3$ の直線であり，これに関する対称移動では方向角 $ϕ$ は $2 \cdot \frac{π}{3} - ϕ = \frac{2 π}{3} - ϕ$ に移る。2つの変換が一致するには $\frac{π}{2} - θ - ϕ \equiv \frac{2 π}{3} - ϕ (mod 2 π)$ であればよい。したがって $θ \equiv - \frac{π}{6} (mod 2 π)$ であり， $0 ≦ θ < 2 π$ より $θ = \frac{11 π}{6}$ である。

東北大学 2010年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 2010年度
後期・理系数学後期第3問