東北大学 2004年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1)

与えられた曲線は $x(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2},y(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ であるから、$x(t{)}^2-y(t{)}^2=1$ を満たす。$t=a$ における点を $(\cosh a,\sinh a)$ と書くと、曲線 $x^2-y^2=1$ のその点における接線は $x\cosh a-y\sinh a=1$ である。これが $A(0,1)$ を通るので $-\sinh a=1$ すなわち $\sinh a=-1$ である。$e^a=u$ とおくと $\frac{u-u^{-1}}{2}=-1$ より $u^2+2u-1=0$ である。$u>0$ だから $e^a=\sqrt{2}-1$ であり、$a=\log (\sqrt{2}-1)$ である。

(2)

点 $(x(t),y(t))$ と $A(0,1)$ との距離の2乗を考えると $L^2=x(t{)}^2+(y(t)-1{)}^2={\cosh }^{2}t+(\sinh t-1{)}^2$ である。これを微分すると

となる。$\cosh t>0$ だから、極値は $\sinh t=\frac{1}{2}$ で生じる。$L^2$ は $t\to \pm \infty$ で大きくなり、この点を境に減少から増加へ変わるので、ここで最小である。 $e^b=v$ とおくと $\frac{v-v^{-1}}{2}=\frac{1}{2}$ すなわち $v^2-v-1=0$ である。$v>0$ より $e^b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ であるから $b=\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。

(3)

(1)より $\sinh a=-1$ であり、$x^2-y^2=1$ から $\cosh a=\sqrt{2}$ である。したがって $P=(\sqrt{2},-1)$ である。また(2)より $\sinh b=1/2$ だから $Q=\left(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2}\right)$ である。

境界を $P$ から $Q$ まで曲線 $C$ に沿って進み、次に線分 $QA$、最後に線分 $AP$ を進む向きに取ると反時計回りになる。媒介変数表示の曲線について、境界の面積は $\frac{1}{2}\int (xdy-ydx)$ で計算できる。曲線部分では $x^{\prime }=\sinh t=y$, $y^{\prime }=\cosh t=x$ であるから

である。

線分 $(x_1,y_1)$ から $(x_2,y_2)$ へ進む部分の寄与は $\frac{1}{2}(x_1{y}_2-y_1{x}_2)$ である。したがって線分 $QA$ の寄与は

であり、線分 $AP$ の寄与は $\frac{1}{2}(0\cdot (-1)-1\cdot \sqrt{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。よって $S=\frac{1}{2}(b-a)+\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

ここで $-a=-\log (\sqrt{2}-1)=\log (\sqrt{2}+1)$ であり、$b=\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ だから、

である。