東北大学 2004年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

3次曲線 $y = x^{3} - 3 x$ を $C_{1}$ とする． $a$ を正の実数とし， $C_{1}$ を $x$ 軸方向へ $a$ だけ平行移動した曲線を $C_{2}$ とする．

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるような $a$ の範囲を求めよ．また，このとき $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれる図形の面積 $S (a)$ を求めよ．

(2) $a$ が(1)の範囲を動くとき，面積 $S (a)$ の最大値を求めよ．

出典：東北大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$C_{2}$ は $y = (x - a)^{3} - 3 (x - a)$ で表される。交点は2曲線の差を0にする2次方程式で決まり、 $a > 0$ なので判別式が正であることが異なる2点で交わる条件になる。面積は根の中点 $x = a /2$ を中心に置き直し、差が下に凸の2次式になることを利用して絶対値付き積分を計算する。最大値は $S (a) = 定数 \cdot a (12 - a^{2})^{3/2}$ を微分して求め、端点で面積が0に近づくことも確認する。

解答

(1)

$C_{1}$ を $x$ 軸方向へ $a$ だけ平行移動した曲線は $C_{2} : y = (x - a)^{3} - 3 (x - a)$ である。2曲線の差を取ると ${x^{3} - 3 x} - {(x - a)^{3} - 3 (x - a)} = a (3 x^{2} - 3 a x + a^{2} - 3)$ である。 $a > 0$ だから、交点の個数は $3 x^{2} - 3 a x + a^{2} - 3 = 0$ の実数解の個数で決まる。この2次方程式の判別式は $(- 3 a)^{2} - 4 \cdot 3 (a^{2} - 3) = 36 - 3 a^{2}$ である。異なる2点で交わるための条件はこれが正であることなので、 $36 - 3 a^{2} > 0$ すなわち $0 < a < 23$ である。

この範囲で、2つの交点の $x$ 座標を $α < β$ とする。 $u = x - a /2$ とおくと、 $3 x^{2} - 3 a x + a^{2} - 3 = 3 u^{2} + \frac{a ^{2}}{4} - 3 = 3 (u^{2} - h^{2})$ ただし $h^{2} = 1 - \frac{a ^{2}}{12} = \frac{12 - a ^{2}}{12}$ である。したがって $α = a /2 - h$ , $β = a /2 + h$ である。 $α < x < β$ では $u^{2} - h^{2} < 0$ だから、 $C_{1} - C_{2} < 0$ であり、上側は $C_{2}$ 、下側は $C_{1}$ である。よって面積は

S (a) = \int_{α}^{β} {C_{2} - C_{1}} d x = 3 a \int_{- h}^{h} (h^{2} - u^{2}) d u

である。計算すると $S (a) = 3 a [h^{2} u - \frac{u ^{3}}{3}]_{- h}^{h} = 4 a h^{3}$ であり、 $h = \frac{12 - a ^{2}}{2 3}$ だから $S (a) = \frac{3}{18} a (12 - a^{2})^{3/2}$ である。

(2)

$0 < a < 23$ において $S (a) = \frac{3}{18} a (12 - a^{2})^{3/2}$ である。正の定数を除いて $F (a) = a (12 - a^{2})^{3/2}$ を最大にすればよい。微分すると $F^{'} (a) = (12 - a^{2})^{3/2} - 3 a^{2} (12 - a^{2})^{1/2} = (12 - a^{2})^{1/2} (12 - 4 a^{2})$ である。したがって内部の臨界点は $a = 3$ である。 $a \to 0 +$ および $a \to 23 -$ では $S (a) \to 0$ であり、 $F^{'} (a)$ は $a < 3$ で正、 $a > 3$ で負だから、ここで最大になる。

よって $S_{m a x} = \frac{3}{18} \cdot 3 \cdot 9^{3/2} = \frac{9}{2}$ である。

東北大学 2004年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2004年度
後期・理系数学後期第1問