東北大学 2004年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

まず $B=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& r\end{array}\right)$ とおく。$B^2=-E$ の非対角成分から $v(u+r)=0,w(u+r)=0$ が得られ、対角成分の差から $(u-r)(u+r)=0$ が得られる。もし $u+r\ne 0$ なら、上の式より $v=w=0$ かつ $u=r$ となるが、このとき対角成分は $u^2=-1$ となり、実数では不可能である。したがって $u+r=0$ である。つまり、$B$ の対角成分の和は0である。 $A=sE+tB$ の対角成分の和を比べると、$B$ の対角成分の和が0だから $a+d=2s$ である。よって $s=\frac{a+d}{2}$ である。

次に

とおくと、$M=tB$ であるから $M^2=t^2{B}^2=-t^{2}E$ である。一方、$\alpha =(a-d)/2$ とおけば

であり、直接計算して $M^2=({\alpha }^2+bc)E$ となる。したがって ${\alpha }^2+bc=-t^2$ である。すなわち $t^2=-\left\{\frac{(a-d{)}^2}{4}+bc\right\}=-\frac{(a-d{)}^2+4bc}{4}$ である。$t$ は正の実数なので右辺は正であり、$(a-d{)}^2+4bc<0$ が成り立つ。また $t=\frac{1}{2}\sqrt{-(a-d{)}^2-4bc}$ である。

(2)

実数係数の2次方程式が $s+it$ を解にもつなら、$s-it$ も解にもつ。したがってその方程式は $(x-(s+it))(x-(s-it))=0$ すなわち $x^2-2sx+s^2+t^2=0$ である。よって $p=-2s=-(a+d)$ である。また $q=s^2+t^2=\frac{(a+d{)}^2}{4}-\frac{(a-d{)}^2+4bc}{4}=ad-bc$ である。したがって $p=-(a+d),q=ad-bc$ である。