東北大学 2004年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

$s=\sin x$ とおくと、$-1\leqq s\leqq 1$ であり、$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-2s^2$ である。したがって与えられた方程式は $|as+1-2s^2|=2$ となる。

まず $as+1-2s^2=2$ の場合を考える。このとき $as=1+2s^2$ であり、$s=0$ では成り立たない。よって $a=\frac{1}{s}+2s$ である。$0<s\leqq 1$ では、$1/s+2s$ は $s=1/\sqrt{2}$ で最小値 $2\sqrt{2}$ をとり、$s\to 0+$ で限りなく大きくなるから $a\geqq 2\sqrt{2}$ である。$-1\leqq s<0$ では $u=-s$ とおくと $a=-\left(\frac{1}{u}+2u\right)$ であり、$a\leqq -2\sqrt{2}$ である。

次に $as+1-2s^2=-2$ の場合を考える。このとき $as=2s^2-3$ であり、やはり $s=0$ では成り立たない。したがって $a=2s-\frac{3}{s}$ である。$0<s\leqq 1$ では $2s-\frac{3}{s}$ は増加し、$s\to 0+$ で $-\infty$、$s=1$ で $-1$ となる。よって $a\leqq -1$ である。$-1\leqq s<0$ では同じ式が増加し、$s=-1$ で $1$、$s\to 0-$ で $+\infty$ となる。よって $a\geqq 1$ である。

以上を合わせると、最初の場合の $a\leqq -2\sqrt{2}$ または $a\geqq 2\sqrt{2}$ は、後の場合から得られる範囲に含まれている。したがって求める範囲は $a\leqq -1\text{または}a\geqq 1$ である。