東北大学 2003年度
理系数学 前期 第6問

解答

(1)

$f(x)=(x+1)\log \frac{x+1}{x}=(x+1)\log \left(1+\frac{1}{x}\right)$ である。微分すると

ここで $u=\frac{1}{x}>0$ とおくと $f^{\prime }(x)=\log (1+u)-u$ である。$u>0$ に対して $\log (1+u)<u$ が成り立つので $f^{\prime }(x)<0$ である。したがって $f(x)$ は $x>0$ で単調減少である。

(2)

$x\to +0$ のとき $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\to +\infty$ である。また $x+1\to 1$ なので ${\lim }_{x\to +0}f(x)=+\infty$ である。

次に $x\to +\infty$ を考える。$u=1/x$ とおくと $u\to +0$ であり、$f(x)=(x+1)\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1+u}{u}\log (1+u)$ である。したがって ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{u\to +0}(1+u)\frac{\log (1+u)}{u}=1$ である。

(3)

関数 $f$ は $x>0$ で連続である。まず $f(1)=2\log 2$ であり、$e>2$ から $e^2>4$、すなわち $2\log 2<2$ なので $f(1)<2$ である。

次に $x=e^{-2}$ とすると $f(e^{-2})=(1+e^{-2})\log (1+e^2)$ である。ここで $1+e^2>e^2$ だから $\log (1+e^2)>2$ である。よって $f(e^{-2})>2(1+e^{-2})>2$ である。

したがって $f(e^{-2})>2>f(1)$ である。連続性より、方程式 $f(x)=2$ を満たす $x$ が $\frac{1}{e^2}<x<1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。