東北大学 2003年度
理系数学 前期 第5問

解答

$\alpha =x+yi$ とし、$r=|\alpha |=\sqrt{x^2+y^2}$ とおく。また円の中心は実軸上にあるので、中心を実数 $h$ とする。条件は $|1-h|=|\alpha -h|=|{\alpha }^2-h|$ である。

まず $|1-h{|}^2=|\alpha -h{|}^2$ より $(1-h{)}^2=(x-h{)}^2+y^2$ である。整理すると $1-2h+h^2=x^2-2hx+h^2+y^2$ だから

である。

次に $|1-h{|}^2=|{\alpha }^2-h{|}^2$ を用いる。${\alpha }^2$ の実部は $x^2-y^2$、絶対値は $r^2$ であるから $|{\alpha }^2-h{|}^2=r^4-2h(x^2-y^2)+h^2$ である。したがって $1-2h+h^2=r^4-2h(x^2-y^2)+h^2$ より

である。

(1),(2)から $h$ を消去する。計算を整理すると $x(r^2-1)((x-1{)}^2+y^2)=0$ を得る。ここで $(x-1{)}^2+y^2=0$ は $\alpha =1$ を表すが、3点 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ が相異なるという条件に反するので除く。

したがって候補は $r=1$ または $x=0$ である。 $r=1$ の場合、$\alpha$ は単位円上にある。このとき $\alpha =1$ はもちろん除く。また $\alpha =-1$ なら ${\alpha }^2=1$ となり、3点が相異ならないので除く。よって $|\alpha |=1,\alpha \ne 1,-1$ である。 $x=0$ の場合、$\alpha$ は虚軸上にある。$\alpha =0$ なら ${\alpha }^2=0$ で3点が相異ならないので除く。したがって $\mathrm{Re}\alpha =0,\alpha \ne 0$ である。

以上より、求める範囲は単位円 $|\alpha |=1$ から $1,-1$ を除いた部分と、虚軸から0を除いた部分の和である。

最後に円の半径を求める。$|\alpha |=1$ の場合は中心 $h=0$ であり、半径は1である。これは $\frac{1+|\alpha {|}^2}{2}=1$ と一致する。

虚軸の場合、$x=0$ なので(1)から $2h=1-r^2,h=\frac{1-r^2}{2}$ である。円の半径 $R$ は点1から中心 $h$ までの距離だから $R=|1-h|=1-\frac{1-r^2}{2}=\frac{1+r^2}{2}$ である。したがって、どちらの場合も円の半径は $\frac{1+|\alpha {|}^2}{2}$ である。