東北大学 2003年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ に対し， $A = (a c b d)$ ， $E = (1001)$ とおく．

(1) $A^{2} = (α γ β δ)$ のとき， $α δ - β γ ≧ 0$ を示せ．

(2) $A$ が $A^{4} = E$ を満たすならば， $A^{2} = E$ または $A^{2} = - E$ となることを示せ．

(3) $B = (0110)$ とする． $A$ が $A^{2} = - E$ および $B A = - A B$ を満たすとき， $b$ ， $c$ ， $d$ を $a$ の式で表せ．また，このとき $A B = A^{m} B A^{n}$ が成立するような整数の組 $(m, n)$ で $1 ≦ m ≦ 3$ ， $1 ≦ n ≦ 3$ の範囲にあるものをすべて求めよ．

出典：東北大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1)は $A^{2}$ の行列式が $A$ の行列式の2乗になることを、必要なら成分計算で確認する。(2)では $C = A^{2}$ とおくと $C^{2} = E$ であり、(1)と $(det C)^{2} = 1$ から $det C = 1$ が従う。 $C = (p r q s)$ と置いて $C^{2} = E$ , $p s - q r = 1$ を成分比較すると $C = E$ または $C = - E$ に限られる。(3)は $B A = - A B$ から $d = - a, c = - b$ 、さらに $A^{2} = - E$ から $b^{2} = a^{2} + 1$ を得る。後半は $B A = - A B$ , $A^{2} = - E$ , $A^{4} = E$ を使って指数を4周期で調べる。

解答

(1)

$A^{2} = (α γ β δ)$ とする。行列式を考えると $α δ - β γ = det (A^{2})$ である。2次行列については $det (A^{2}) = det (A) det (A)$ であるから $α δ - β γ = (a d - b c)^{2} ≧ 0$ である。

(2)

$C = A^{2}$ とおく。仮定 $A^{4} = E$ より $C^{2} = E$ である。また(1)より $det C ≧ 0$ であり、 $C^{2} = E$ から $(det C)^{2} = det E = 1$ である。したがって $det C = 1$ である。

C = (p r q s)

とおく。 $C^{2} = E$ より

⎩ ⎨ ⎧ p^{2} + q r = 1, q (p + s) = 0, r (p + s) = 0, r q + s^{2} = 1

である。また $p s - q r = 1$ である。

もし $p + s = 0$ なら $s = - p$ であり、 $p s - q r = - p^{2} - q r$ である。一方 $p^{2} + q r = 1$ なので $p s - q r = - 1$ となり、 $det C = 1$ に反する。したがって $p + s \neq = 0$ である。すると $q (p + s) = 0$ , $r (p + s) = 0$ から $q = 0, r = 0$ である。さらに $p^{2} = 1$ , $s^{2} = 1$ , $p s = 1$ だから $(p, s) = (1, 1) または (p, s) = (- 1, - 1)$ である。よって $C = E または C = - E$ である。すなわち $A^{2} = E または A^{2} = - E$ である。

(3)

B = (0110)

である。まず

B A = (c a d b), A B = (b d a c)

である。条件 $B A = - A B$ より、成分を比較して $c = - b, d = - a$ を得る。したがって

A = (a - b b - a)

である。

このとき

A^{2} = (a^{2} - b^{2} 0 0 a^{2} - b^{2}) = (a^{2} - b^{2}) E

である。条件 $A^{2} = - E$ より $a^{2} - b^{2} = - 1$ だから $b^{2} = a^{2} + 1$ である。よって $b = \pm a^{2} + 1, c = - b = \mp a^{2} + 1, d = - a$ である。

次に $A B = A^{m} B A^{n}$ を満たす $(m, n)$ を求める。 $B A = - A B$ より、 $B$ と $A$ を入れ替えるたびに符号が変わるので $B A^{n} = (- 1)^{n} A^{n} B$ である。したがって $A^{m} B A^{n} = (- 1)^{n} A^{m + n} B$ である。一方、 $A B = A^{1} B$ であり、右から $B$ を掛けて比較すれば $(- 1)^{n} A^{m + n} = A$ であればよい。

また $A^{2} = - E$ だから $A^{4} = E$ であり、 $A$ の累乗は4周期である。 $n$ が偶数なら $(- 1)^{n} = 1$ なので $A^{m + n} = A$ すなわち $m + n \equiv 1 (mod 4)$ が必要である。 $1 ≦ m, n ≦ 3$ で $n = 2$ の場合を調べると $m + 2 \equiv 1 (mod 4)$ より $m = 3$ である。 $n$ が奇数なら $(- 1)^{n} = - 1$ なので $- A^{m + n} = A$ すなわち $A^{m + n} = - A = A^{3}$ であり、 $m + n \equiv 3 (mod 4)$ が必要である。 $n = 1$ では $m = 2$ 、 $n = 3$ では該当する $1 ≦ m ≦ 3$ はない。

したがって求める組は $(m, n) = (2, 1), (3, 2)$ である。

東北大学 2003年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2003年度
理系数学前期第1問