東北大学 2003年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

まず $0<a_n<2$ がすべての $n$ で成り立つことを示す。初項は条件より $0<c<2$ なので $0<a_1<2$ である。 $0<a_n<2$ と仮定する。このとき $a_{n+1}^2=f(a_n)=4a_n-a_n^2=a_n(4-a_n)$ である。$0<a_n<2$ より $a_n>0$, $4-a_n>2>0$ なので $a_{n+1}>0$ である。また $a_{n+1}^2=a_n(4-a_n)<2\cdot 4=8$ だけでは不十分なので、直接 $a_{n+1}^2<4$ を確認する。実際 $4-a_{n+1}^2=4-(4a_n-a_n^2)=(2-a_n{)}^2>0$ であるから $a_{n+1}<2$ である。よって帰納法により $0<a_n<2$ がすべての $n$ で成り立つ。

次に $a_n<a_{n+1}$ を示す。両辺は正なので、2乗して比較すればよい。 $a_{n+1}>a_n$ は $a_{n+1}^2>a_n^2$ と同値である。ところが $a_{n+1}^2-a_n^2=4a_n-a_n^2-a_n^2=2a_n(2-a_n)>0$ である。したがって $a_n<a_{n+1}$ である。

(2)

漸化式より $a_{n+1}^2=4a_n-a_n^2=4-(2-a_n{)}^2$ である。したがって $4-a_{n+1}^2=(2-a_n{)}^2$ であり、左辺を因数分解して $(2-a_{n+1})(2+a_{n+1})=(2-a_n{)}^2$ を得る。 $a_{n+1}>0$ なので $2+a_{n+1}>2$ である。よって $2-a_{n+1}<\frac{(2-a_n{)}^2}{2}$ である。

また(1)より $a_n\geqq a_1=c$ であるから $2-a_n\leqq 2-c$ である。したがって $2-a_{n+1}<\frac{2-c}{2}(2-a_n)$ が成り立つ。

(3)

(1)より $\{a_n\}$ は単調増加であり、さらに $a_n<2$ で上に有界である。したがって極限をもつ。その極限を $L$ とする。

漸化式の両辺で極限をとると $L=\sqrt{4L-L^2}$ である。両辺は非負なので2乗して $L^2=4L-L^2$ となる。よって $2L(L-2)=0$ であり、$L=0\text{または}L=2$ である。

しかし $a_1=c>0$ かつ単調増加なので $L\geqq c>0$ である。したがって $L=0$ は不可能で、${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$ である。