東北大学 2003年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内に2点 $P (u, u, 0)$ ， $Q (u, 0, 1 - u^{2})$ を考える． $u$ が0から1まで動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる曲面を $S$ とする．

(1) 点 $(u, 0, 0)$ $(0 ≦ u ≦ 1)$ を線分 $P Q$ の距離を求めよ．

(2) 曲面 $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．

出典：東北大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

固定した $u$ では、線分 $P Q$ は平面 $x = u$ 内の $y z$ 平面で、 $(y, z) = (u, 0)$ と $(0, 1 - u^{2})$ を結ぶ線分である。(1)は原点 $(y, z) = (0, 0)$ からこの線分への距離を、三角形の面積または直線の距離公式で求める。(2)では $x = u$ の断面を $x$ 軸のまわりに回転したものとして見る。内半径は(1)の距離、外半径は端点までの距離の大きい方なので、 $u = 1/ 2$ で場合分けして円環の面積を積分する。

解答

(1)

固定した $u$ を考える。点 $P, Q$ はどちらも $x = u$ の平面上にあり、 $y z$ 平面内の座標で見ると $P : (y, z) = (u, 0), Q : (y, z) = (0, 1 - u^{2})$ である。また点 $(u, 0, 0)$ は、この $y z$ 平面では原点 $(0, 0)$ に対応する。 $s = 1 - u^{2}$ とおくと、線分 $P Q$ は $(u, 0)$ と $(0, s)$ を結ぶ線分である。この直線は $\frac{y}{u} + \frac{z}{s} = 1$ すなわち $sy + u z - u s = 0$ である。原点からこの直線までの距離は $\frac{u s}{s ^{2} + u ^{2}}$ である。ここで $s^{2} + u^{2} = 1$ だから、距離は $u s = u 1 - u^{2}$ である。 $0 ≦ u ≦ 1$ では垂線の足は線分上にあるので、これが点 $(u, 0, 0)$ から線分 $P Q$ までの距離である。

(2)

固定した $x = u$ の断面を考える。線分 $P Q$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、 $y z$ 平面では原点から線分 $P Q$ までの距離を内半径とし、原点から線分上の点までの最大距離を外半径とする円環ができる。

(1)より内半径は $r (u) = u 1 - u^{2}$ である。外半径は端点 $P, Q$ のうち原点から遠い方の距離である。点 $P$ までの距離は $u$ 、点 $Q$ までの距離は $1 - u^{2}$ なので、

R (u) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - u^{2} u (0 ≦ u ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ u ≦ 1)

である。

したがって体積 $V$ は

V = π \int_{0}^{1/ 2} {(1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})} d u + π \int_{1/ 2}^{1} {u^{2} - u^{2} (1 - u^{2})} d u

である。整理すると $V = π \int_{0}^{1/ 2} (1 - 2 u^{2} + u^{4}) d u + π \int_{1/ 2}^{1} u^{4} d u$ である。

計算して

\int_{0}^{1/ 2} (1 - 2 u^{2} + u^{4}) d u = [u - \frac{2 u ^{3}}{3} + \frac{u ^{5}}{5}]_{0}^{1/ 2} = \frac{43}{60 2}

であり、

\int_{1/ 2}^{1} u^{4} d u = [\frac{u ^{5}}{5}]_{1/ 2}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20 2}

である。よって $V = π (\frac{1}{5} + \frac{2}{3 2}) = \frac{π ( 3 + 5 2 )}{15}$ である。

東北大学 2003年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2003年度
理系数学前期第4問