東北大学 2003年度
後期・理系数学 後期 第6問

解答

はじめに、2次正方行列 $X$ が $X^2=O$ を満たすときの形を調べる。

とおくと、$X^2=O$ から

を得る。$\beta =\gamma =0$ なら $\alpha =\delta =0$ であり、零行列である。そうでなければ $\beta$ または $\gamma$ が0でないので $\alpha +\delta =0$ である。いずれの場合も

と書ける。

(1)

上の形を $A,B$ に適用して

とおく。$A^2=B^2=O$ だから $(A+B{)}^2=AB+BA$ である。直接計算すると

である。したがって $s=2ap+br+cq$ とおけば $\boxed{(A+B{)}^2=sE}$ である。

(2)

$(A+B{)}^2=O$ とする。(1)の計算より $2ap+br+cq=0$ である。

まず $b\ne 0$ の場合を考える。$a^2+bc=0$ より $c=-\frac{a^2}{b}$ である。また $2ap+br+cq=0$ に $c=-a^2/b$ を代入し、両辺に $b$ を掛けると $2abp+b^{2}r-a^{2}q=0$ である。さらに $B^2=O$ より $p^2+qr=0$ だから $b^2(p^2+qr)=0$ である。ここに $b^{2}r=a^{2}q-2abp$ を代入すると $b^2{p}^2+q(a^{2}q-2abp)=0$ すなわち $(bp-aq{)}^2=0$ を得る。よって $p=\frac{q}{b}a$ である。これを $2abp+b^{2}r-a^{2}q=0$ に戻すと $r=-\frac{a^{2}q}{b^2}=\frac{q}{b}c$ である。したがって $B=\frac{q}{b}A$ となる。

次に $b=0$ の場合を考える。$a^2+bc=0$ より $a=0$ である。いま $A\ne O$ だから $c\ne 0$ である。条件 $2ap+br+cq=0$ は $cq=0$ となるので $q=0$ である。さらに $B^2=O$ より $p^2+qr=p^2=0$ だから $p=0$ である。よって

である。

以上より、どの場合にも実数 $t$ が存在して $\boxed{B=tA}$ が成り立つ。