東北大学 2003年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1)

$y=e^{x-c}$ とおく。両辺の自然対数をとると $\log y=x-c$ であるから $x=\log y+c$ である。したがって逆関数は $\boxed{g(x)=\log x+c(x>0)}$ である。

(2)

$f(x)=e^{x-c}$ は単調増加である。$y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点を $(\alpha ,\beta )$ とすると、$\beta =f(\alpha )$ かつ $\beta =g(\alpha )$ である。後者は $\alpha =f(\beta )$ を意味する。

もし $\alpha <\beta$ なら、$f$ の単調増加性より $f(\alpha )<f(\beta )$ すなわち $\beta <\alpha$ となり矛盾する。$\alpha >\beta$ の場合も同様に矛盾する。よって共有点は必ず $\alpha =\beta$、つまり直線 $y=x$ 上にある。

したがって共有点の個数は $e^{x-c}=x$ を満たす正の $x$ の個数に等しい。両辺の対数をとると $x-c=\log x$ だから $x-\log x=c$ である。 $\varphi (x)=x-\log x(x>0)$ とおくと ${\varphi }^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ である。したがって $0<x<1$ で ${\varphi }^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で ${\varphi }^{\prime }(x)>0$ であり、$x=1$ で最小値 $\varphi (1)=1$ をとる。また $x\to +0$ で $-\log x\to +\infty$、$x\to +\infty$ で $x-\log x\to +\infty$ である。

よって $x-\log x=c$ の正の解の個数は

である。したがって共有点の個数も

である。