東北大学 2003年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

2つの数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を

a_{n} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} e^{n s i n θ} d θ, b_{n} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} e^{n s i n θ} cos θ d θ (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定める．

(1) 一般項 $b_{n}$ を求めよ．

(2) 各 $n$ に対して，次を示せ．

b_{n} ≦ a_{n} ≦ 2 b_{n}

(3) $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g a_{n}$ を求めよ．ただし，対数は自然対数であり， $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ を用いてよい．

出典：東北大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$b_{n}$ は $u = sin θ$ とおけば積分範囲も $[- 1/ 2, 1/ 2]$ に変わり、直接計算できる。(2)は区間上で $1/ 2 ≦ cos θ ≦ 1$ であることを、正の関数 $e^{n s i n θ}$ に掛けて積分する。(3)は(1)で得た $b_{n}$ の対数を $n$ で割り、(2)の不等式ではさみうちを行う。

解答

(1)

$u = sin θ$ とおくと、 $d u = cos θ d θ$ である。また

θ = - \frac{π}{4} のとき u = - \frac{1}{2}, θ = \frac{π}{4} のとき u = \frac{1}{2}

である。したがって

b_{n} = \int_{- 1/ 2}^{1/ 2} e^{n u} d u = [\frac{1}{n} e^{n u}]_{- 1/ 2}^{1/ 2}

より $b_{n} = \frac{e ^{n / 2} - e ^{- n / 2}}{n}$ である。

(2)

$- π /4 ≦ θ ≦ π /4$ では $\frac{1}{2} ≦ cos θ ≦ 1$ である。また $e^{n s i n θ} > 0$ だから $e^{n s i n θ} cos θ ≦ e^{n s i n θ}$ であり、積分して $b_{n} ≦ a_{n}$ を得る。

一方、 $cos θ ≧ 1/ 2$ より $e^{n s i n θ} ≦ 2 e^{n s i n θ} cos θ$ である。これを積分して $a_{n} ≦ 2 b_{n}$ を得る。したがって $b_{n} ≦ a_{n} ≦ 2 b_{n}$ である。

(3)

(1)の結果を $b_{n} = \frac{e ^{n / 2}}{n} (1 - e^{- 2 n})$ と書く。よって

\frac{1}{n} lo g b_{n} = \frac{1}{2} - \frac{lo g n}{n} + \frac{1}{n} lo g (1 - e^{- 2 n})

である。ここで $(lo g n) / n \to 0$ であり、 $lo g (1 - e^{- 2 n}) \to 0$ だから $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} lo g b_{n} = \frac{1}{2}$ である。

また(2)より

\frac{1}{n} lo g b_{n} ≦ \frac{1}{n} lo g a_{n} ≦ \frac{1}{n} lo g b_{n} + \frac{1}{n} lo g 2

である。右端と左端はいずれも $1/ 2$ に近づくので、はさみうちにより $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g a_{n} = \frac{1}{2}$ である。

東北大学 2003年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2003年度
後期・理系数学後期第4問