問題
図のような空間内の8点
を頂点とする直方体を考える．この直方体の辺上を6個の動点，，，，，が次の条件(i)，(ii)を満たすように動くものとする．
% 図は省略
(i) 時刻において，，はから，，はから，はから，はから，それぞれ出発する．
(ii) はに，，はに，はに，，はに向かってそれぞれ一定の速度で辺上を動き，時刻において，，，に到着する．
(1) は常に，，の定める平面上にあることを示せ．
(2) ，が共に，，の定める平面上にある時刻 を求めよ．
(3) (2)で求めた時刻における六角形の面積を求めよ．
出典：東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
文系後期第4問と同じ動点の座標表示を使う。(1)は から平面上にあることを示す。(2)は について平面 への所属条件を行列式で出し、 の解を選ぶ。(3)はその時刻で6頂点を座標化し、六角形を同一平面上の4つの三角形に分割して外積で面積を合計する。
解答
各点の座標は である。
(1)
である。すると
であるから、 は と の張る平面内のベクトルである。よって は常に の定める平面上にある。
(2)
点 が平面 上にある条件は である。 のとき
であり、 のとき
である。したがって がともに平面 上にあるための条件は である。 より である。
(3)
のとき
である。(2)よりこれらは同一平面上にある。六角形 を、対角線を用いて
に分ける。
それぞれの面積は、外積の大きさの半分で求められる。計算すると
である。したがって である。よって求める面積は である。