東北大学 2003年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

(1) 正の整数 $n$ に対して， $f (x) = (e^{x} - e^{- x})^{n}$ とする． $f^{'} (0)$ を求めよ．

(2) 次を示せ．ただし， $_{n} C_{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k ) !}$ とする．

k = 0 \sum n_{n} C_{k} (- 1)^{k} (n - 2 k) = {20 (n = 1 のとき) (n ≧ 2 のとき)

出典：東北大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $n = 1$ と $n ≧ 2$ で $(e^{x} - e^{- x})^{n - 1}$ の $x = 0$ における値が変わることに注意して微分する。(2)は $(e^{x} - e^{- x})^{n}$ を二項定理で展開し、微分して $x = 0$ を代入する。指数関数を使わない確認として、 $(1 - x)^{n}$ の微分から同じ和を読む方法もある。

解答

(1)

$n = 1$ のとき $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ だから $f^{'} (x) = e^{x} + e^{- x}, f^{'} (0) = 2$ である。 $n ≧ 2$ のときは $f^{'} (x) = n (e^{x} - e^{- x})^{n - 1} (e^{x} + e^{- x})$ である。 $x = 0$ では $e^{0} - e^{0} = 0$ であり、 $n - 1 ≧ 1$ だから $f^{'} (0) = 0$ である。したがって

f^{'} (0) = {20 (n = 1), (n ≧ 2)

である。

(2)

二項定理より

(e^{x} - e^{- x})^{n} = k = 0 \sum n_{n} C_{k} (e^{x})^{n - k} (- e^{- x})^{k}

$= \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (- 1)^{k} e^{(n - 2 k) x}$ である。両辺を $x$ で微分すると $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (- 1)^{k} (n - 2 k) e^{(n - 2 k) x}$ である。ここで $x = 0$ を代入すると $f^{'} (0) = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (- 1)^{k} (n - 2 k)$ となる。これと(1)の結果を比べて

k = 0 \sum n_{n} C_{k} (- 1)^{k} (n - 2 k) = {20 (n = 1), (n ≧ 2)

を得る。

別解。指数関数を使わずに、 $H (x) = (1 - x)^{n}$ とおいてもよい。二項定理から $H (x) = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (- 1)^{k} x^{k}$ であるから $\sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} (- 1)^{k} (n - 2 k) = n H (1) - 2 H^{'} (1)$ である。 $n = 1$ では直接計算して $2$ 、 $n ≧ 2$ では $H (1) = 0$ かつ $H^{'} (1) = - n (1 - 1)^{n - 1} = 0$ なので、同じ結論になる。

東北大学 2003年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2003年度
後期・理系数学後期第1問