東北大学 2002年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$f_{1} (x)$ は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数とする． $f_{2} (x)$ ， $f_{3} (x)$ ， $\dots$ を次のように順次定義する． $n = 2, 3, \dots$ に対し $F_{n - 1} (x) = \int_{0}^{x} f_{n - 1} (t) d t$ とおいて $f_{n} (x) = \int_{0}^{x} f_{n - 1} (t) F_{n - 1} (t) d t$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $n ≧ 2$ のとき，すべての $x$ に対して $f_{n} (x) ≧ 0$ であることを示せ．

(2) $n ≧ 3$ のとき，すべての $x ≧ 0$ に対して $f_{n}^{'} (x) ≧ 0$ であることを示せ．

(3) $f_{4}^{'} (1) = 0$ のとき，すべての $0 ≦ x ≦ 1$ に対して $f_{1} (x) = 0$ であることを示せ．

出典：東北大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

定義の中に $f_{n - 1} F_{n - 1}$ が現れるので、 $F_{n - 1}^{'} = f_{n - 1}$ から $f_{n} = {F_{n - 1}}^{2} /2$ と書けることが中心である。この恒等式で非負性を示し、 $n ≧ 3$ では $f_{n - 1} ≧ 0$ から $F_{n - 1} (x) ≧ 0$ を得る。(3)は非負連続関数の積分が0なら区間上で恒等的に0という事実を、 $f_{3}$ 、 $f_{2}$ 、 $F_{1}$ へ順に戻して使う。

解答

(1)

$F_{n - 1}^{'} (x) = f_{n - 1} (x)$ であるから、定義より

f_{n} (x) = \int_{0}^{x} f_{n - 1} (t) F_{n - 1} (t) d t = \int_{0}^{x} F_{n - 1}^{'} (t) F_{n - 1} (t) d t = \frac{1}{2} {F_{n - 1} (x)}^{2} - \frac{1}{2} {F_{n - 1} (0)}^{2}

である。ここで $F_{n - 1} (0) = \int_{0}^{0} f_{n - 1} (t) d t = 0$ なので $f_{n} (x) = \frac{1}{2} {F_{n - 1} (x)}^{2}$ である。したがって $n ≧ 2$ のとき、すべての実数 $x$ について $f_{n} (x) ≧ 0$ である。

(2)

$n ≧ 3$ とする。このとき $n - 1 ≧ 2$ なので、(1)より $f_{n - 1} (x) ≧ 0$ である。 $x ≧ 0$ では $F_{n - 1} (x) = \int_{0}^{x} f_{n - 1} (t) d t ≧ 0$ である。よって $f_{n}^{'} (x) = f_{n - 1} (x) F_{n - 1} (x) ≧ 0$ であり、示された。

(3)

$f_{4}^{'} (1) = f_{3} (1) F_{3} (1) = 0$ である。ここで $f_{3} (x) ≧ 0$ であり、 $F_{3} (1) = \int_{0}^{1} f_{3} (x) d x ≧ 0$ である。

もし $F_{3} (1) = 0$ なら、非負連続関数 $f_{3}$ の $[0, 1]$ 上の積分が0であるから $f_{3} (x) = 0 (0 ≦ x ≦ 1)$ である。特に $f_{3} (1) = 0$ である。したがって、いずれの場合も $f_{3} (1) = 0$ が成り立つ。

(1)で得た式を $n = 3$ に用いると $f_{3} (1) = \frac{1}{2} {F_{2} (1)}^{2}$ だから $F_{2} (1) = 0$ である。さらに $f_{2} (x) ≧ 0$ なので $F_{2} (1) = \int_{0}^{1} f_{2} (x) d x = 0$ から $f_{2} (x) = 0 (0 ≦ x ≦ 1)$ である。

最後に $f_{2} (x) = \frac{1}{2} {F_{1} (x)}^{2}$ であるから、 $0 ≦ x ≦ 1$ で $F_{1} (x) = 0$ である。両辺を微分して $f_{1} (x) = 0 (0 ≦ x ≦ 1)$ を得る。

東北大学 2002年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2002年度
理系数学前期第6問