東北大学 2002年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

$\frac{dx}{dt}=e^t+e^{-t}>0$ であるから、$x$ は $t$ の増加関数であり、曲線は $x$ の関数として表せる。 $(e^t+e^{-t}{)}^2=(e^t-e^{-t}{)}^2+4=x^2+4$ であり、$e^t+e^{-t}>0$ だから $e^t+e^{-t}=\sqrt{x^2+4}$ である。また $e^{3t}+e^{-3t}=(e^t+e^{-t})\{(e^t-e^{-t}{)}^2+1\}$ なので $y=(x^2+1)\sqrt{x^2+4}$ である。

これを微分すると $y^{\prime }=\frac{3x(x^2+3)}{\sqrt{x^2+4}}$ である。したがって $x<0$ で減少、$x=0$ で極小、$x>0$ で増加する。さらに $y^{\prime \prime }=\frac{6(x^4+6x^2+6)}{(x^2+4{)}^{3/2}}>0$ であるから、曲線は常に下に凸である。頂点は $(0,2)$ であり、$y$ は偶関数なのでy軸対称である。

(2)

求める面積は ${\int }_{-1}^1(x^2+1)\sqrt{x^2+4}dx$ である。ここで $x=e^t-e^{-t}$ とおくと $dx=(e^t+e^{-t})dt$ であり、$x=1$ に対応する正の $t$ を $u$ とすると $e^u-e^{-u}=1$ である。

媒介変数のまま面積を計算すると

ここで $e^u-e^{-u}=1$ より $\sinh u=\frac{1}{2},\cosh u=\frac{\sqrt{5}}{2}$ である。したがって $\sinh 2u=2\sinh u\cosh u=\frac{\sqrt{5}}{2},\cosh 2u=\frac{3}{2}$ であり、$\sinh 4u=2\sinh 2u\cosh 2u=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ である。積分値は $\sinh 4u+2\sinh 2u=\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}=\boxed{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$ である。