問題
とし，平面の楕円の第1象限の部分をとする．ただし，第1象限には軸と軸は含まれない．上の点におけるの接線と法線が軸と交わる点の座標をそれぞれととし，とおく．点が上を動くとき，の最小値が存在するためのとについての条件と，そのときのの最小値を求めよ．
出典：東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
楕円上の点を 、 とおく。接線は標準形からすぐにy切片が出る。法線は接線の傾きの逆符号を使ってy切片を求める。 と置くと となるので、開区間 で最小値が実際に存在する条件を調べる。
解答
楕円E上の点Pを とおく。
Pにおける接線は である。 とすると、接線がy軸と交わる点のy座標は である。
次に法線を求める。楕円の接線の傾きは であるから、法線の傾きは である。したがって法線は である。ここに を代入すると である。
よって である。ここで とおくと、 であり である。 なので である。相加相乗平均より であり、等号は すなわち のときに成り立つ。
この値が開区間 に入るための条件は である。これは すなわち である。
この条件が成り立つとき、Lの最小値は である。 のときは、最小を与えるはずの が となり、第1象限では が含まれないため、最小値は存在しない。