問題
四面体は各辺の長さが1の正四面体とする．
(1) で与えられる点に対しが成り立つならば，であることを示せ．また，このときのをを用いて表せ．
(2) ，，，のいずれとも異なる空間内の点と点を，四面体と四面体がともに正四面体になるようにとるとき，の値を求めよ．
出典：東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
正四面体では、同じ頂点から出る3本の辺ベクトルの長さは1で、互いの内積は である。(1)は を で展開し、等式の差から を導く。(2)は正四面体を座標に置き、PをAの平面BCDに関する反対側の点、QをDの平面ABCに関する反対側の点として求め、内積で を計算する。
解答
(1)
とおく。正四面体の各辺の長さは1であるから であり、また各面は正三角形なので である。 より である。同様に
である。 を計算すると、共通する項が消えて となる。 だから である。同様に より である。したがって が成り立つ。
この共通値を改めて と書くと である。よって
である。したがって である。
(2)
座標を
とおく。
四面体 が正四面体になる点は、平面BCDを底面とする正四面体の頂点である。一方の頂点はAであり、PはAと異なるので、PはAを平面BCDに関して反対側へ移した点である。計算すると である。また、四面体 について同様に、QはDを平面ABCの反対側へ移した点であり である。
したがって
である。どちらも長さは1であり、内積は
である。よって である。