問題
右の図のような格子状の道路がある．左下の地点から出発し，サイコロを繰り返し振り，次の規則にしたがって進むものとする．1の目が出たら右に2区画，2の目が出たら右に1区画、3の目が出たら上に1区画進み，その他の場合はそのまま動かない．ただし，右端で1または2の目が出たとき，あるいは上端で3の目が出たときは，動かない．また，右端の1区画手前で1の目が出たときは，右端まで進んで止まる．
を8以上の自然数とする．地点から出発し，サイコロを回振るとき，ちょうど6回目に，地点以外の地点から進んで地点に止まり，回目までに地点に到達する確率を求めよ．ただし，サイコロのどの目が出るのも，同様に確からしいものとする．
% 図は省略
方針
図の配置を 、、 と読む。6回目にB以外の地点からBに止まるには、5回後に 、、 のいずれかにいて、6回目に対応する目を出す必要がある。それぞれの5回分の出方を数えて合計する。B到達後は、Cに行くために右方向の目と上方向の目が少なくとも1回ずつ必要なので、余事象で処理する。
解答
図の格子点を と読む。6回目にB以外の地点から進んでBに止まるには、5回目の終了時点で次のいずれかにいる必要がある。
5回で にいる出方は、上へ進む目を2回、停止を3回出す場合であるから 通りである。
5回で にいる出方は、右へ1区画進む目を1回、上へ進む目を2回、停止を2回出す場合であるから 通りである。
5回で にいる出方は、横方向の進み方で2通りに分ける。右へ2区画を1回、上へ1回、停止を3回なら 通りであり、右へ1区画を2回、上へ1回、停止を2回なら 通りである。したがって にいる出方は 通りである。
以上より、6回目にBに止まる出方は 通りである。全出方は 通りなので、6回目までの確率は である。
その後、BからCへ到達するには、残り 回のうち、右へ進む目1または2が少なくとも1回、かつ上へ進む目3が少なくとも1回出ればよい。右方向の目が一度も出ない確率は 、上方向の目が一度も出ない確率は 、どちらも出ない確率は である。したがって、この部分の確率は である。 を戻して、求める確率は
である。