東北大学 2002年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$a$ は実数とする．関数

f (x) = 2 x^{2} lo g x - x^{2} - a x (x - 2)

の $x > 1$ のおける極小値の個数を求めよ（極小値そのものは求める必要はない）．ただし， $lo g$ は自然対数とする．

出典：東北大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

導関数を $2 {2 x lo g x - a (x - 1)}$ と因数分解し、臨界点の方程式を $a = h (x) = 2 x lo g x / (x - 1)$ に直す。 $x > 1$ で $h (x)$ が単調増加し、値域が $(2, \infty)$ であることを示せば、臨界点の個数が分かる。最後に、その臨界点では $f^{''} (x) > 0$ となることを確認し、極小値の個数に直す。

解答

$x > 1$ で $f (x) = 2 x^{2} lo g x - x^{2} - a x (x - 2)$ を微分すると

f^{'} (x) = 4 x lo g x + 2 x - 2 x - a (2 x - 2) = 4 x lo g x - 2 a x + 2 a = 2 {2 x lo g x - a (x - 1)}

である。したがって $f^{'} (x) = 0$ は $a = \frac{2 x l o g x}{x - 1}$ と同値である。

ここで $h (x) = \frac{2 x l o g x}{x - 1} (x > 1)$ とおく。微分すると

h^{'} (x) = \frac{2 ( lo g x + 1 ) ( x - 1 ) - 2 x lo g x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 1 - lo g x )}{( x - 1 ) ^{2}}

である。 $x > 1$ では $x - 1 > lo g x$ が成り立つので $h^{'} (x) > 0$ である。よって $h (x)$ は単調増加する。

また、 $x$ を1に近づけると $lo g x$ は $x - 1$ に近いので $h (x) \to 2$ である。さらに $x \to \infty$ では $h (x) \to \infty$ である。したがって $h (x)$ の値域は $(2, \infty)$ である。

ゆえに $f^{'} (x) = 0$ の解は、 $a > 2$ のときただ1つ存在し、 $a ≦ 2$ のとき存在しない。

最後に、 $a > 2$ のときの臨界点が極小を与えることを確認する。臨界点では $a = \frac{2 x l o g x}{x - 1}$ であり、

f^{''} (x) = 4 lo g x + 4 - 2 a = 4 lo g x + 4 - \frac{4 x lo g x}{x - 1} = 4 (1 - \frac{lo g x}{x - 1}) > 0

である。したがって、その臨界点は極小点であり、極小値は1個生じる。

よって $x > 1$ における極小値の個数は

{01 (a ≦ 2), (a > 2)

である。

東北大学 2002年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 2002年度
後期・理系数学後期第6問