東北大学 2002年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

$i\alpha \beta =1$ より $\alpha \beta =-i$ である。$\alpha =x+yi$ とおく。すると

である。

また $\beta =-i/\alpha$ であり、$\beta =\frac{-i\overline{\alpha }}{|\alpha {|}^2}=\frac{-y-xi}{|\alpha {|}^2}$ だから $\beta +\overline{\beta }=2\mathrm{Re}\beta =-\frac{2y}{|\alpha {|}^2}$ である。条件 $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\overline{\alpha }}=\beta +\overline{\beta }$ より $\frac{2x}{|\alpha {|}^2}=-\frac{2y}{|\alpha {|}^2}$ であるから $x+y=0$ である。

これは点 $\alpha =(x,y)$ が直線 $x+y=0$ 上にあることを表す。この直線は、複素数平面上の2点 $1=(1,0)$ と $-i=(0,-1)$ の垂直二等分線である。したがって $|\alpha -1|=|\alpha -(-i)|=|\alpha +i|$ である。さらに $\alpha \beta =-i$ より $|\alpha \beta -\alpha |=|-i-\alpha |=|\alpha +i|$ なので $\boxed{|\alpha -1|=|\alpha \beta -\alpha |}$ である。

(2)

$x+y=0$ より、$\alpha =x-xi=x(1-i)$ と書ける。また $\alpha +\overline{\alpha }=2x<0$ だから $x<0$ である。さらに $|\alpha |=|x|\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ より $|x|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ である。$x<0$ だから $x=-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ であり $\boxed{\alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1+i)}$ である。

また $\alpha \beta =-i$ なので、三角形の3つの頂点は $1,\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1+i),-i$ である。辺 $1$ と $-i$ の長さは $|1+i|=\sqrt{2}$ である。(1)より残りの2辺も等しく、直接計算しても $|\alpha -1|=|\alpha +i|=\sqrt{2}$ である。したがって、この三角形は $\boxed{1,\alpha ,\alpha \beta \text{ を頂点とする正三角形}}$ である。