東北大学 2002年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$p > 0$ とする． $x y$ 平面上の点 $A$ が放物線 $y^{2} = 4 p x$ 上を動くとき，点 $A$ と $x$ 軸上の点 $(t, 0)$ の距離の最小値 $g (t)$ を求めよ．さらに， $x ≧ 0$ のとき， $\int_{0}^{x} g (t) d t$ を求めよ．

出典：東北大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

放物線 $y^{2} = 4 p x$ 上の点を $(s^{2} / (4 p), s)$ とおき、距離の2乗を $u = s^{2} ≧ 0$ の関数として最小化する。頂点が $u ≧ 0$ に入るかどうかで $t ≦ 2 p$ と $t ≧ 2 p$ に分かれる。 $x ≧ 0$ の積分では、 $[0, 2 p]$ では $g (t) = t$ 、その後は平方根型を積分する。

解答

放物線上の点Aを $A = (\frac{s ^{2}}{4 p}, s)$ とおく。点 $(t, 0)$ との距離の2乗は $(\frac{s ^{2}}{4 p} - t)^{2} + s^{2}$ である。ここで $u = s^{2} (u ≧ 0)$ とおくと、最小にすべき式は $(\frac{u}{4 p} - t)^{2} + u$ である。

これを $u$ の2次式として見ると $\frac{u ^{2}}{16 p ^{2}} + (1 - \frac{t}{2 p}) u + t^{2}$ である。頂点は $u = 4 p (t - 2 p)$ である。 $t ≦ 2 p$ のとき、この頂点は $u ≦ 0$ なので、 $u ≧ 0$ での最小は $u = 0$ で生じる。したがって $g (t) = ∣ t ∣$ である。 $t ≧ 2 p$ のときは、頂点 $u = 4 p (t - 2 p)$ が $u ≧ 0$ に入る。これを代入すると距離の2乗の最小値は $4 p (t - p)$ であるから $g (t) = 2 p (t - p)$ である。よって

g (t) = {∣ t ∣ 2 p (t - p) (t ≦ 2 p), (t ≧ 2 p)

である。

次に $x ≧ 0$ とする。 $0 ≦ x ≦ 2 p$ では $g (t) = t$ なので $\int_{0}^{x} g (t) d t = \frac{x ^{2}}{2}$ である。 $x ≧ 2 p$ では

\int_{0}^{x} g (t) d t = \int_{0}^{2 p} t d t + \int_{2 p}^{x} 2 p (t - p) d t = 2 p^{2} + 2 p \int_{2 p}^{x} t - p d t = 2 p^{2} + \frac{4 p}{3} {(x - p)^{3/2} - p^{3/2}} = \frac{4 p}{3} (x - p)^{3/2} + \frac{2 p ^{2}}{3}

である。したがって

\int_{0}^{x} g (t) d t = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2}}{2} \frac{4 p}{3} (x - p)^{3/2} + \frac{2 p ^{2}}{3} (0 ≦ x ≦ 2 p), (x ≧ 2 p)

である。

東北大学 2002年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 2002年度
後期・理系数学後期第1問