問題
を自然数とする．平面の軸上の区間を等分し，番目の分点の座標をとする．すなわち，
とする．に対し，放物線上の点をとおく．線分と放物線で囲まれる図形の面積をとし，点を順に結んでできる多角形の面積をとする．
(1) を求めよ．
(2) のとき，との関係式を求めよ．
(3) をを用いて表せ．
(4) をみたす最小のを求めよ．
出典：東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
放物線 と1本の弦で囲まれる面積は、区間の長さの3乗に比例し、具体的に である。全体の弦と放物線の面積Sから、細かく結んだ折れ線と放物線の間に残る小さな面積の和を引けば が得られる。等分幅が半分になると残りの面積は 倍になるので、漸化式と明示式を出す。
解答
まず基本となる面積を求める。放物線 上の2点のx座標の差を とすると、その2点を結ぶ弦と放物線で囲まれる面積は、平行移動して区間を と見れば である。
したがって、線分 と放物線で囲まれる面積は である。
(1)
では区間 を2等分する。折れ線と放物線の間に残る小さな面積は、長さ の区間2個分であるから である。よって
である。
(2)
のとき、各小区間の長さは であり、小区間は 個ある。したがって、折れ線と放物線の間に残る面積は
である。同様に であるから である。すなわち とも書ける。
(3)
(2)の残り面積の式から直接 である。したがって
である。
(4)
条件 は、(3)より と同値である。したがって すなわち である。、 だから、最小の自然数 は である。
別解。 を直接求めず、放物線と各小弦で囲まれる小面積の総和だけを追ってもよい。分割数が2倍になるたびに、小面積は個数が2倍、各面積は幅の3乗で 倍になるため、合計は 倍になる。この比だけで(2)から(4)までを短く導ける。