東北大学 2002年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

とおく。条件 $KAK=A^{-1}$ は、右からAを掛けて $KAKA=E$ と同値である。

を代入して $KAKA=E$ の成分を比べると

を得る。

まず $a+b+1\ne 0$ とする。このとき第2式、第3式から $a=0,c=0$ であり、第1式から $b^2=1$ である。さらに $a+b+1\ne 0$ より $b\ne -1$ なので $b=1$ である。このとき

となるが、$A^3=K\ne E$ であり不適である。

次に $a+b+1=0$ とする。このとき $b=-a-1$ である。第1式は $ac+(a+1{)}^2=1$ すなわち $a(a+c+2)=0$ となる。 $a\ne 0$ なら $c=-a-2$ であり、

である。この行列は跡が $-2$、行列式が1なので $A^2+2A+E=O$ を満たす。したがって $A^3=3A+2E$ である。もし $A^3=E$ なら $3A+2E=E$ より $A=-E/3$ となるが、これは上の形のAの跡が $-2$ であることに反する。よってこの場合は不適である。

したがって $a=0$ である。このとき

である。$A^3=E$ を計算すると

である。これがEに等しいためには $-c=1$ が必要であり、よって $c=-1$ である。この値では確かに

が $A^3=E,KAK=A^{-1}$ を満たす。

したがって求める行列は

である。