東北大学 2001年度
後期・理系数学 後期 第6問

解答

(1)

極座標 $x=r\cos \theta ,x^2+y^2=r^2$ を用いる。方程式 $a^2(x^2+y^2)=(x^2+y^2-x{)}^2$ に代入すると $a^2{r}^2=(r^2-r\cos \theta {)}^2=r^2(r-\cos \theta {)}^2$ である。

したがって $r=0$ または $a^2=(r-\cos \theta {)}^2$ である。よって極方程式は $\boxed{r=0\text{または}r=\cos \theta \pm a}$ である。

(2)

$x$ 軸との交点を求めるため $y=0$ とおく。すると $a^2{x}^2=(x^2-x{)}^2=x^2(x-1{)}^2$ である。よって $x=0$ または $|x-1|=a$ である。したがって $x$ 軸との交点は $\boxed{(0,0),(1-a,0),(1+a,0)}$ である。

次に $y$ 軸との交点を求める。$x=0$ とすると $a^2{y}^2=y^4$ である。よって $y=0,y=\pm a$ となる。したがって $y$ 軸との交点は $\boxed{(0,0),(0,a),(0,-a)}$ である。

曲線は方程式に $y$ が2乗でしか現れないので $x$ 軸対称である。また $0<a<1$ なので、右側に $(1-a,0)$ と $(1+a,0)$ を通る大きなふくらみをもち、原点を通って上下に $(0,\pm a)$ を通る部分をもつ。これらの交点を目印に、$x$ 軸対称な概形を描けばよい。

(3)

$a=1/\sqrt{3}$ とする。まず $x$ 座標を調べる。 $r=\cos \theta +a$ とおき、$u=\cos \theta$ とすると $x=r\cos \theta =(u+a)u=u^2+au$ である。この枝では $r\geqq 0$ より $u\geqq -a$ である。したがって $-a\leqq u\leqq 1$ で $x=u^2+au$ の最大・最小を調べる。最大は $u=1$ で $x_{\max }=1+a=1+\frac{1}{\sqrt{3}}$ であり、最小は $u=-a/2$ で $x_{\min }=-\frac{a^2}{4}=-\frac{1}{12}$ である。

もう一方の枝 $r=\cos \theta -a$ では $r\geqq 0$ より $u\geqq a$ で、$x=(u-a)u=u^2-au$ である。この範囲での値は上の最大・最小を超えない。したがって $\boxed{x_{\max }=1+\frac{1}{\sqrt{3}},x_{\min }=-\frac{1}{12}}$ である。

次に $y$ 座標を調べる。曲線は $x$ 軸対称なので、最大値を求めれば最小値はその反対である。 $r=\cos \theta +a$ の枝で $y=(u+a)\sin \theta$ だから $y^2=(u+a{)}^2(1-u^2)$ である。これを微分すると、内部の極値は $1-2u^2-au=0$ で与えられる。$a=1/\sqrt{3}$ を代入すると $u=\frac{1}{\sqrt{3}}$ が有効な解である。このとき $y^2={\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{9}$ である。

もう一方の枝から得られる $y^2$ はこれを超えない。よって $\boxed{y_{\max }=\frac{2\sqrt{2}}{3},y_{\min }=-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ である。