東北大学 2001年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

$|\alpha |=1$ である。原点と $\alpha$ を通る直線 $l$ の方向は複素数 $\alpha$ で表される。点 $z$ が $\alpha$ を通り $l$ に垂直な直線 $m$ 上にあることは、ベクトル $z-\alpha$ が $\alpha$ と垂直であることと同値である。

複素数で2つのベクトル $Z,W$ が垂直であることは $\overline{W}Z+W\overline{Z}=0$ と表せる。ここで $Z=z-\alpha$、$W=\alpha$ とすると $\overline{\alpha }(z-\alpha )+\alpha (\overline{z}-\overline{\alpha })=0$ である。$\alpha \overline{\alpha }=1$ より $\overline{\alpha }z+\alpha \overline{z}-2=0$ となる。したがって $\boxed{\overline{\alpha }z+\alpha \overline{z}=2}$ である。

(2)

(1)より、直線 $\overline{\alpha }z+\alpha \overline{z}=2$ は、原点中心の単位円に点 $\alpha$ で接する接線である。同様に、3つの直線はそれぞれ単位円に $\alpha ,\beta ,\gamma$ で接する接線である。

これら3直線で囲まれる部分が原点を中心とする正三角形であるとする。正三角形の中心から3辺へ下ろした垂線は、互いに $120^{\circ }$ ずつ方向が異なる。また各垂線の足は単位円との接点である。したがって接点方向 $\alpha ,\beta ,\gamma$ は、単位円上で $120^{\circ }$ ずつ離れている。

仮定により

はいずれも $0^{\circ }$ より大きく $180^{\circ }$ より小さいので、$\alpha ,\beta ,\gamma$ はこの順に単位円上を回る。したがって $\beta =\alpha \left(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }\right),$ $\gamma =\alpha \left(\cos 240^{\circ }+i\sin 240^{\circ }\right)$ である。

ここで

であるから $\alpha +\beta +\gamma =0$ が成り立つ。