東北大学 2001年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$a > 0$ に対して，曲線

y = \frac{e ^{a x} + e ^{- a x}}{2 a} (- 1 ≦ x ≦ 1)

の長さを $L (a)$ とする．

(1) この曲線の概形を描け．

(2) $L (a)$ を求めよ．

(3) $L (a)$ は $a$ の関数として単調増加関数であることを示せ．

出典：東北大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

導関数から曲線の増減・対称性・凸性を調べて概形を描く。弧長は $1 + (y^{'})^{2}$ を計算すると $(e^{a x} + e^{- a x}) /2$ に簡単化する。単調性は $L (a) = (e^{a} - e^{- a}) / a$ を微分し、分子を別関数としてその導関数が正であることを示す。

解答

(1)

曲線は $y = \frac{e ^{a x} + e ^{- a x}}{2 a}$ である。右辺は $x$ を $- x$ に変えても変わらないので、グラフは $y$ 軸に関して対称である。

導関数は $y^{'} = \frac{e ^{a x} - e ^{- a x}}{2}$ である。したがって $x < 0$ では $y^{'} < 0$ 、 $x > 0$ では $y^{'} > 0$ であり、 $x = 0$ で最小となる。最小点は $(0, \frac{1}{a})$ である。

また $y^{''} = \frac{a}{2} (e^{a x} + e^{- a x}) > 0$ なので、グラフは下に凸である。よって概形は、 $y$ 軸対称で、 $(0, 1/ a)$ を最小点とする下に凸の曲線である。

(2)

弧長公式より $L (a) = \int_{- 1}^{1} 1 + (y^{'})^{2} d x$ である。ここで

1 + (y^{'})^{2} = 1 + (\frac{e ^{a x} - e ^{- a x}}{2})^{2} = (\frac{e ^{a x} + e ^{- a x}}{2})^{2}

である。したがって $1 + (y^{'})^{2} = \frac{e ^{a x} + e ^{- a x}}{2}$ である。

よって

L (a) = \int_{- 1}^{1} \frac{e ^{a x} + e ^{- a x}}{2} d x = [\frac{e ^{a x} - e ^{- a x}}{2 a}]_{- 1}^{1} = \frac{e ^{a} - e ^{- a}}{a} .

したがって $L (a) = \frac{e ^{a} - e ^{- a}}{a}$ である。

(3)

(2)より $L (a) = \frac{e ^{a} - e ^{- a}}{a} (a > 0)$ である。微分すると $L^{'} (a) = \frac{a ( e ^{a} + e ^{- a} ) - ( e ^{a} - e ^{- a} )}{a ^{2}}$ である。

分子を $ϕ (a) = a (e^{a} + e^{- a}) - (e^{a} - e^{- a})$ とおく。すると $ϕ^{'} (a) = e^{a} + e^{- a} + a (e^{a} - e^{- a}) - (e^{a} + e^{- a}) = a (e^{a} - e^{- a})$ である。 $a > 0$ では $e^{a} > e^{- a}$ なので $ϕ^{'} (a) > 0$ である。また $ϕ (a)$ は $a = 0$ で0に近づくので、 $a > 0$ で $ϕ (a) > 0$ である。したがって $L^{'} (a) > 0$ となり、 $L (a)$ は $a$ の単調増加関数である。

東北大学 2001年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2001年度
後期・理系数学後期第5問