東北大学 2001年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a > 1$ とする． $x y$ 平面上の領域

D : 1 ≦ x ≦ a, 0 ≦ y ≦ \frac{1}{x}

を， $y$ 軸に平行な $n - 1$ 本の直線

x = a_{k} (k = 1, 2, \dots\dots, n - 1, 1 < a_{1} < a_{2} < \dots\dots < a_{n - 1} < a)

により分割し， $D$ の面積を $n$ 等分する． $a_{n} = a$ として，極限

n \to \infty lim \frac{1}{n} (\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots\dots + \frac{1}{a _{n}})

を求めよ．

出典：東北大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

面積等分条件から、 $x = 1$ から $x = a_{k}$ までの面積が全体の $k / n$ になる。積分すると $a_{k}$ が等差的に並ぶので、求める平均は $1/ (1 + s (a - 1))$ のリーマン和になる。

解答

領域 $D$ のうち、 $1 ≦ x ≦ X$ の部分の面積は $\int_{1}^{X} \frac{1}{x} d x = [2 x]_{1}^{X} = 2 (X - 1)$ である。

全体の面積は $2 (a - 1)$ である。 $x = a_{k}$ までで面積が全体の $k / n$ になるから $2 (a_{k} - 1) = \frac{k}{n} \cdot 2 (a - 1)$ である。したがって $a_{k} = 1 + \frac{k}{n} (a - 1)$ である。

よって求める極限は

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + \frac{k}{n} ( a - 1 )}

である。これは区間 $[0, 1]$ のリーマン和であり、極限は $\int_{0}^{1} \frac{d s}{1 + s ( a - 1 )}$ である。 $a > 1$ なので $a - 1 > 0$ であり

\int_{0}^{1} \frac{d s}{1 + s ( a - 1 )} = \frac{1}{a - 1} [lo g {1 + s (a - 1)}]_{0}^{1} = \frac{lo g a}{a - 1}

である。したがって $\frac{lo g a}{2 ( a - 1 )}$ である。

東北大学 2001年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 2001年度
後期・理系数学後期第1問