東北大学 2001年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a$ ， $x$ ， $y$ は実数で， $a < 1$ ， $y < x$ とする．行列

A = (0 - a 1 a + 1), B = (1 x 1 y), C = (x 0 0 y)

は $A B = B C$ を満たすとする．

(1) $B$ を $a$ を用いて表せ．

(2) $B^{- 1}$ および $A^{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ を $a$ を用いて表せ．

(3) 数列 ${p_{n}}$ を

p_{0} = b, p_{1} = c, (p_{n} p_{n + 1}) = A (p_{n - 1} p_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

によって定める． ${p_{n}}$ が収束するための $a$ ， $b$ ， $c$ の条件を求めよ．また，そのときの極限 $n \to \infty lim p_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$A B = B C$ は、 $B$ の第1列・第2列がそれぞれ $A$ によって $x$ 倍・ $y$ 倍されることを意味する。これにより $x, y$ は2次方程式 $λ^{2} - (a + 1) λ + a = 0$ の2解になり、条件 $a < 1, y < x$ から $x = 1, y = a$ 。その後は $A^{n} = B diag (1, a^{n}) B^{- 1}$ の形で求め、数列の収束は $a^{n}$ の挙動で場合分けする。

解答

(1)

$B$ の列ベクトルに注目する。 $A B = B C$ より

A (1 x) = x (1 x), A (1 y) = y (1 y)

である。

一般に

A (1 λ) = (λ - a + (a + 1) λ)

である。これが

λ (1 λ) = (λ λ^{2})

に等しいためには $λ^{2} - (a + 1) λ + a = 0$ でなければならない。この方程式は $(λ - 1) (λ - a) = 0$ である。 $a < 1$ かつ $y < x$ より、大きい方が $x$ 、小さい方が $y$ である。したがって $x = 1, y = a$ となり、

B = (11 1 a)

である。

(2)

B = (11 1 a)

より、 $a < 1$ だから $a - 1 \neq = 0$ であり、

B^{- 1} = \frac{1}{a - 1} (a - 1 - 1 1)

である。

(1)の関係から

A B = B (10 0 a)

である。両辺の右から $B^{- 1}$ を掛けると

A = B (10 0 a) B^{- 1}

であるから、これを $n$ 回掛ければ

A^{n} = B (10 0 a^{n}) B^{- 1}

である。右辺を計算すると

A^{n} = (11 1 a) (10 0 a^{n}) \frac{1}{a - 1} (a - 1 - 1 1) = \frac{1}{a - 1} (11 a^{n} a^{n + 1}) (a - 1 - 1 1) = \frac{1}{a - 1} (a - a^{n} a - a^{n + 1} - 1 + a^{n} - 1 + a^{n + 1}) .

である。

(3)

定義より

(p_{n} p_{n + 1}) = A^{n} (b c)

である。したがって(2)から

p_{n} = \frac{( a - a ^{n} ) b + ( - 1 + a ^{n} ) c}{a - 1} = \frac{c - ab}{1 - a} + \frac{a ^{n} ( c - b )}{a - 1}

である。

まず $- 1 < a < 1$ のとき、 $a^{n} \to 0$ であるから、任意の実数 $b, c$ について $p_{n}$ は収束し $n \to \infty lim p_{n} = \frac{c - ab}{1 - a}$ である。

次に $a ≦ - 1$ のとき、 $a^{n}$ は0に収束しない。したがって $p_{n}$ が収束するためには、 $a^{n}$ の係数が0であること、すなわち $c - b = 0$ が必要である。これは十分でもあり、このとき $p_{n} = b$ がすべての $n$ で成り立つ。よって $a ≦ - 1, b = c$ のときに限り収束し、その極限は $b$ である。

以上をまとめると、収束条件は $- 1 < a < 1 なら b, c は任意$ または $a ≦ - 1 なら b = c$ である。

別解。(3)は漸化式から直接求めてもよい。行列の定義から $p_{n + 1} = (a + 1) p_{n} - a p_{n - 1}$ である。定数列と $a^{n}$ はこの漸化式を満たすので、 $p_{n} = u + v a^{n}$ の形を考える。初期条件 $p_{0} = b, p_{1} = c$ より $u + v = b, u + a v = c$ である。これを解くと $v = \frac{c - b}{a - 1}, u = \frac{c - ab}{1 - a}$ となるので、 $p_{n} = \frac{c - ab}{1 - a} + \frac{a ^{n} ( c - b )}{a - 1}$ を得る。以後の収束判定は上と同じである。

東北大学 2001年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2001年度
後期・理系数学後期第4問