問題
数列を初項，公比2の等比数列，数列を初項，公比の等比数列とする．
(1) のとき，の少数部分を求めよ．
(2) の少数部分を求めよ．
(3) 数列の初項から第100項までの和の整数部分を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
なので、小数部分は の累乗を で割った余りにより周期4になる。 は絶対値が急速に小さい交代等比数列で、 だけ となる点を別扱いする。 では の小数部分に を足しても整数境界を越えないことを確認し、100項和は周期和と等比数列の和で評価する。
解答
(1)
である。 を で割った余りは を周期4で繰り返す。したがって に対する の小数部分は である。
(2)
である。まず では なので である。
次に を考える。 であり、 の小数部分は のいずれかである。負の を足しても 未満にならず、正の を足しても 以上にならない。したがって では である。ただし は小数部分を表す。
(3)
の小数部分は4項で となる。100項は25周期なので、 の小数部分の和は である。
しかし では の小数部分 と が合わさって整数 になり、小数部分は である。したがって
である。等比数列の和より
である。よってこの和は であり、これは より大きく より小さい。したがって初項から第100項までの和の整数部分は である。