東北大学 2000年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$0 < t < 1$ として，頂点が $O (0, 0)$ ， $A (t, 0)$ ， $B (0, 1)$ である三角形と，頂点が $O$ ， $P (1 - t, 0)$ ， $Q (1 - t, 1 - t)$ ， $R (0, 1 - t)$ である正方形の共通部分の面積を $S$ とするとき， $S$ を $t$ の式で表せ．また， $S$ を最大にする $t$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

共通部分を $x$ 方向に切り、三角形の上端 $y = 1 - x / t$ と正方形の上端 $y = 1 - t$ の小さい方を積分する。横幅の右端は $min (t, 1 - t)$ 、上端が入れ替わる点は $1 - x / t = 1 - t$ から $x = t^{2}$ である。したがって $t = 1/2$ と $t^{2} = 1 - t$ を境に3区間へ分け、各区間の式を出してから最大値を比較する。

解答

三角形 $O A B$ は $0 ≦ x ≦ t, 0 ≦ y ≦ 1 - \frac{x}{t}$ で表される。正方形は $0 ≦ x ≦ 1 - t, 0 ≦ y ≦ 1 - t$ である。2つの上端 $y = 1 - \frac{x}{t}, y = 1 - t$ が交わるのは $1 - \frac{x}{t} = 1 - t$ より $x = t^{2}$ である。

1.

$0 < t ≦ 1/2$ のとき、 $t ≦ 1 - t$ なので横幅は $0 ≦ x ≦ t$ である。 $0 ≦ x ≦ t^{2}$ では正方形の上端が低く、 $t^{2} ≦ x ≦ t$ では三角形の上端が低い。したがって

S = \int_{0}^{t^{2}} (1 - t) d x + \int_{t^{2}}^{t} (1 - \frac{x}{t}) d x = \frac{t ( 1 - t ^{2} )}{2}

である。

2.

$1/2 ≦ t ≦ (5 - 1) /2$ のとき、横幅は $0 ≦ x ≦ 1 - t$ で、さらに $t^{2} ≦ 1 - t$ である。よって

S = \int_{0}^{t^{2}} (1 - t) d x + \int_{t^{2}}^{1 - t} (1 - \frac{x}{t}) d x = - \frac{t ^{4} + 3 t ^{2} - 4 t + 1}{2 t}

である。

3.

$(5 - 1) /2 ≦ t < 1$ のとき、 $1 - t ≦ t^{2}$ であるから、正方形全体が三角形の下に入る。したがって $S = (1 - t)^{2}$ である。

以上より

S = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{t ( 1 - t ^{2} )}{2} - \frac{t ^{4} + 3 t ^{2} - 4 t + 1}{2 t} (1 - t)^{2} (0 < t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ \frac{5 - 1}{2}), (\frac{5 - 1}{2} ≦ t < 1)

である。

最大を調べる。第1区間では $\frac{d}{d t} {\frac{t ( 1 - t ^{2} )}{2}} = \frac{1 - 3 t ^{2}}{2}$ であり、 $0 < t ≦ 1/2$ では正なので増加する。第3区間では $(1 - t)^{2}$ は減少する。したがって最大の候補は第2区間の内部または端点である。

第2区間で $S = - \frac{1}{2} t^{3} - \frac{3}{2} t + 2 - \frac{1}{2 t}$ だから $S^{'} = - \frac{3}{2} t^{2} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2 t ^{2}}$ である。 $S^{'} = 0$ より $3 t^{4} + 3 t^{2} - 1 = 0$ となる。 $u = t^{2}$ とおくと $3 u^{2} + 3 u - 1 = 0$ なので、 $u > 0$ より $t^{2} = \frac{21 - 3}{6}$ である。よって $t = \frac{21 - 3}{6}$ のとき最大となる。この値は実際に $1/2 ≦ t ≦ (5 - 1) /2$ に入る。

東北大学 2000年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

1.

2.

3.

東北大学 2000年度
理系数学前期第5問