東北大学 2000年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$ とおく。両辺に $cx+d$ を掛けて $y(cx+d)=ax+b$ すなわち $(cy-a)x=b-dy$ である。$ad-bc\ne 0$ なので逆関数が存在し、$x=\frac{dy-b}{-cy+a}$ となる。したがって $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$ である。

(2)

一次分数関数 $(ax+b)/(cx+d)$ は、係数 $a,b,c,d$ を同時に0でない定数倍しても同じ関数を表す。そこで

とおくと、合成 $f\circ f$ は $M^2$ に対応する。$f^{-1}=f$ は $f\circ f$ が恒等関数であることと同値だから、$M^2$ が単位行列の定数倍になる条件を調べればよい。

計算すると

である。これが単位行列の定数倍になるには $b(a+d)=0,c(a+d)=0,a^2+bc=d^2+bc$ が必要である。最後の式は $(a-d)(a+d)=0$ である。もし $a+d\ne 0$ なら $b=c=0$ かつ $a=d$ となり、$f(x)=x$ になってしまう。問題では $f(x)\ne x$ なので、この場合は除かれる。

したがって求める条件は $a+d=0$ である。このとき $ad-bc\ne 0$ のもとで $M^2$ は単位行列の定数倍となり、$f(x)\ne x$ も保たれる。

(3)

$f^{-1}=f(f(x))$ は、両辺に $f$ を合成して $f\circ f\circ f$ が恒等関数であることと同値である。つまり $M^3$ が単位行列の定数倍になればよい。 $M$ については $M^2-(a+d)M+(ad-bc)I=O$ が成り立つので、両辺に $M$ を掛けて整理すると $M^3=\{(a+d{)}^2-(ad-bc)\}M-(a+d)(ad-bc)I$ である。$f(x)\ne x$ なので $M$ 自身は単位行列の定数倍ではない。したがって $M^3$ が単位行列の定数倍になるためには、$M$ の係数が $0$ でなければならない。よって $(a+d{)}^2-(ad-bc)=0$ すなわち $(a+d{)}^2=ad-bc$ である。逆にこの条件が成り立てば上の式より $M^3$ は単位行列の定数倍となるから、$f^{-1}=f(f(x))$ が成り立つ。