東北大学 2000年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$E = (1001)$ ， $K = (0110)$ とし， $p$ ， $q$ を実数とする．

(1) $(a E + b K)^{2} = pE + q K$ となる実数 $a$ ， $b$ が存在するためには， $p$ ， $q$ がどんな条件を満たすことが必要十分であるか．

(2) $p$ ， $q$ が $p^{2} + q^{2} = 2$ を満たし，さらに

(a E + b K)^{2} = pE + q K

(c E + d K)^{2} = q E - p K

となる実数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ が存在するとする．このとき， $p$ ， $q$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

$K^{2} = E$ を使って $(a E + b K)^{2}$ を $E$ と $K$ の係数で比較する。 $p = a^{2} + b^{2}$ 、 $q = 2 ab$ から $p + q = (a + b)^{2}$ 、 $p - q = (a - b)^{2}$ という2つの平方条件に直すのが核心である。後半は同じ条件を $pE + q K$ と $q E - p K$ の両方に適用し、 $p^{2} + q^{2} = 2$ と合わせて値を確定する。

解答

(1)

$K^{2} = E$ 、 $E K = K E = K$ であるから $(a E + b K)^{2} = a^{2} E + ab K + ba K + b^{2} K^{2} = (a^{2} + b^{2}) E + 2 ab K$ である。したがって $p = a^{2} + b^{2}, q = 2 ab$ でなければならない。このとき $p + q = (a + b)^{2} ≧ 0, p - q = (a - b)^{2} ≧ 0$ であるから $p ≧ ∣ q ∣$ が必要である。

逆に $p ≧ ∣ q ∣$ とする。このとき $p + q ≧ 0$ 、 $p - q ≧ 0$ なので $a + b = p + q, a - b = p - q$ を満たす実数 $a, b$ を取ることができる。この $a, b$ について $a^{2} + b^{2} = p, 2 ab = q$ が成り立つ。よって必要十分条件は $p ≧ ∣ q ∣$ である。

(2)

第1の式 $(a E + b K)^{2} = pE + q K$ に対して(1)を用いると $p ≧ ∣ q ∣$ である。第2の式 $(c E + d K)^{2} = q E - p K$ に対して(1)を用いると、 $E$ の係数が $q$ 、 $K$ の係数が $- p$ だから $q ≧ ∣ - p ∣ = ∣ p ∣$ である。

前者から $p ≧ 0$ 、後者から $q ≧ 0$ である。また $p ≧ ∣ q ∣$ より $p ≧ q$ 、 $q ≧ ∣ p ∣$ より $q ≧ p$ なので $p = q ≧ 0$ となる。さらに $p^{2} + q^{2} = 2$ より $2 p^{2} = 2$ であるから、 $p ≧ 0$ に注意して $p = q = 1$ を得る。

別解。 $E + K$ と $E - K$ に着目すると、 $a E + b K$ はこの2方向で $a + b$ 、 $a - b$ を別々に持つ形になる。平方したときの対応成分は $p + q$ 、 $p - q$ であるから、これらがどちらも非負であることが平方根の存在条件になる。これは上の $p ≧ ∣ q ∣$ と同じである。

東北大学 2000年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2000年度
理系数学前期第1問