問題
，はを満たす複素数とする．このとき関数のにおける最小値を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
と をそれぞれ係数として置き直し、二次関数の単調性を調べる。条件 から2次係数側は 未満になり、三角不等式から一次係数側は十分大きい。これにより で導関数が非正になるので、最小値は右端 で得られる。
解答
とおく。すると である。仮定 より である。また三角不等式から が成り立つ。 において である。上の不等式を用いると である。したがって は で単調減少である。 の場合も なので同じ結論が成り立つ。
よって最小値は で取り、その値は である。したがって求める最小値は である。
別解。二次関数の頂点は、 のとき にある。 より であるから、頂点は区間 の右側にある。したがって区間内では減少し、最小値はやはり である。 の場合は一次関数または定数なので同様に処理できる。