東北大学 1998年度
後期・理系数学 後期 第6問

解答

(1)

$\overrightarrow{OP}=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ であるから、求める直線の法線ベクトルは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。したがって直線は $x\cos \theta +y\sin \theta =C$ と表せる。この直線は $P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ を通るので $C=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$ である。よって $x\cos \theta +y\sin \theta =r$ である。

(2)

(1)より、原点から下ろした垂線の方向が $\theta$ で長さが $r$ である接線は $x\cos \theta +y\sin \theta =r$ と書ける。この直線が楕円に接するには、楕円上で $x\cos \theta +y\sin \theta$ がとる最大値がちょうど $r$ であればよい。

楕円上の点を $(x,y)=(a\cos u,b\sin u)$ とおくと $x\cos \theta +y\sin \theta =a\cos u\cos \theta +b\sin u\sin \theta$ である。これは $u$ について $A\cos u+B\sin u$ の形であり、最大値は $\sqrt{A^2+B^2}$ である。ここで $A=a\cos \theta$, $B=b\sin \theta$ だから $r=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$ である。

別解。楕円上の接点を $(a\cos u,b\sin u)$ とすると、その点における接線は $\frac{x\cos u}{a}+\frac{y\sin u}{b}=1$ である。この直線の原点からの距離は $r=\frac{1}{\sqrt{\frac{{\cos }^{2}u}{a^2}+\frac{{\sin }^{2}u}{b^2}}}$ である。また、この直線の法線ベクトルは $(\cos u/a,\sin u/b)$ であり、その長さは $1/r$ である。したがって単位法線ベクトル $(\cos \theta ,\sin \theta )$ について $\cos \theta =\frac{r\cos u}{a},\sin \theta =\frac{r\sin u}{b}$ が成り立つ。したがって $a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta =r^2({\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u)=r^2$ となり、同じく $r=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$ を得る。