東北大学 1998年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$θ$ の関数 $f (θ) = (1 - cos θ + 1 - sin θ)^{2}$ を考える．

(1) $x = cos θ + sin θ$ とおくとき， $f (θ)$ を $x$ を用いて表せ．

(2) $f (θ)$ の最大値，最小値を求めよ．

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

$x = cos θ + sin θ$ と置き、 $(1 - cos θ) (1 - sin θ))$ を $x$ だけで表す。 $x^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ を使うと平方根の中身が $(x - 1)^{2} /2$ になり、絶対値を含む1変数関数に変わる。あとは $- 2 ≦ x ≦ 2$ で、 $x ≦ 1$ と $x ≧ 1$ に分けて最大・最小を読む。

解答

(1)

$x = cos θ + sin θ$ とおく。まず

f (θ) = 2 - (cos θ + sin θ) + 2 (1 - cos θ) (1 - sin θ)

である。したがって $f (θ) = 2 - x + 2 (1 - cos θ) (1 - sin θ)$ である。

また $x^{2} = (cos θ + sin θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ より $sin θ cos θ = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ である。よって

(1 - cos θ) (1 - sin θ) = 1 - (cos θ + sin θ) + sin θ cos θ = 1 - x + \frac{x ^{2} - 1}{2} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2}

である。したがって $f (θ) = 2 - x + 2 ∣ x - 1∣$ である。

(2)

$x = cos θ + sin θ$ の範囲は $- 2 ≦ x ≦ 2$ である。 $x ≦ 1$ では $f = 2 - x + 2 (1 - x) = 2 + 2 - (1 + 2) x$ であるから、 $x$ が大きくなるほど小さくなる。したがってこの範囲での最大値は $x = - 2$ のとき $2 + 2 + (1 + 2) 2 = 4 + 22$ であり、最小値は $x = 1$ のとき $1$ である。 $x ≧ 1$ では $f = 2 - x + 2 (x - 1) = 2 - 2 + (2 - 1) x$ である。これは $x$ が大きくなるほど大きくなるので、この範囲での最小値はやはり $x = 1$ のとき $1$ である。最大値は $x = 2$ のとき $2 - 2 + (2 - 1) 2 = 4 - 22$ であり、先ほどの $4 + 22$ より小さい。

よって $最大値 4 + 22, 最小値 1$ である。

東北大学 1998年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
後期・理系数学後期第5問